bzoj 4916: 神犇和蒟蒻【欧拉函数+莫比乌斯函数+杜教筛】

居然扒到了学长出的题

和3944差不多（？），虽然一眼看上去很可怕但是仔细观察发现，对于mu来讲，答案永远是1（对于带平方的，mu值为0，1除外），然后根据欧拉筛的原理，\( \sum_{i=1}^{n}\phi(i2)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i)*i \)，然后就可以正常推了：

设

\[g(n)=\sum_{i=1}^{n}i\sum_{d=1}^{i}[d|i]\phi(d)=\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

\[s(n)=\sum_{i=1}^{n}i\phi(i)
$$那么把g展开：
\]

g(n)=\sum_{i=2}^{{n}i\sum_{d=1}}{i-1}[d|i]\phi(d)+s(n)

\[\]

s(n)=g(n)-\sum_{i=2}^{{n}i\sum_{d=1}}{i-1}[d|i]\phi(d)

\[\]

=g(n)-\sum_{k=2}^{{n}k\sum_{d=1}}{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}d\phi(d)

\[\]

=g(n)-\sum_{k=2}^{n}k*s(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor)

\[\]

=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{k=2}^{n}k*s(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor)

\[这就是标准的杜教筛递归子问题形式了，直接求解即可。
```cpp
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1000005,m=1000000,mod=1e9+7;
int phi[N],mi[N],q[N],tot,n,k,s[N],ans[N];
bool v[N];
map<long long,int>mp;
int S(int n,int l)
{
if(l<=1)
return phi[n*l];
if(n==1)
{
if(l<=m)
return s[l];
if(ans[k/l]!=-1)
return ans[k/l];
long long re=(long long)l*(l+1)/2%mod;
for(int i=2,la;i<=l;i=la+1)
{
la=l/(l/i);
if(l/i<=m)
re=(re-(long long)s[l/i]*(la-i+1)%mod)%mod;
else
re=(re-(long long)S(1,l/i)*(la-i+1)%mod)%mod;
}
return ans[k/l]=(re%mod+mod)%mod;
}
if(mp[(long long)n*mod+l])
return mp[(long long)n*mod+l];
long long re=0ll;
for(int i=1;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
re=(re+(long long)phi[n/i]*S(i,l/i)%mod)%mod;
if(i*i!=n)
re=re+(long long)phi[i]*S(n/i,l/(n/i))%mod;
}
return mp[(long long)n*mod+l]=(re%mod+mod)%mod;
}
// int S(int n,int l)
// {
// if (l<=1) return phi[n*l];
// if (n==1)
// {
// if (l<=m) return s[l];
// if (ans[k/l]!=-1) return ans[k/l];
// int re=(int)l*(l+1)/2%mod;
// for (int i=2,la;i<=l;i=la+1)
// {
// la=l/(l/i);
// if (l/i<=m) re=re-(int)(la-i+1)*s[l/i]%mod+mod;
// else re=re-(int)(la-i+1)*S(1,l/i)%mod+mod;
// }
// return ans[k/l]=re%mod;
// }
// else
// {
// if (mp[(int)n*mod+l]) return mp[(int)n*mod+l];
// int re=0;
// for (int i=1;i*i<=n;i++)
// if (n%i==0)
// {
// re=re+(int)phi[n/i]*S(i,l/i)%mod;
// if (i*i!=n) re=re+(int)phi[i]*S(n/i,l/(n/i))%mod;
// }
// return mp[(int)n*mod+l]=re%mod;
// }
// }
int main()
{
memset(ans,-1,sizeof(ans));
mi[1]=phi[1]=1;
for(int i=2;i<=m;i++)
{
if(!v[i])
{
q[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
mi[i]=i;
}
for(int j=1;j<=tot&&i*q[j]<=m;j++)
{
int k=i*q[j];
v[k]=1;
if(i%q[j]==0)
{
phi[k]=phi[i]*q[j];
mi[k]=mi[i];
break;
}
phi[k]=phi[i]*(q[j]-1);
mi[k]=mi[i]*q[j];
}
}
for(int i=1;i<=m;i++)
s[i]=(s[i-1]+phi[i])%mod;
scanf("%lld%lld",&n,&k);
if(n>k)
swap(n,k);
long long ans=0ll;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=(ans+((long long)i/mi[i]*S(mi[i],k)%mod))%mod;
printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
return 0;
}
```\]