限制Boltzmann机（Restricted Boltzmann Machine）

起源：Boltzmann神经网络

Boltzmann神经网络的结构是由Hopfield递归神经网络改良过来的，Hopfield中引入了统计物理学的能量函数的概念。

即，cost函数由统计物理学的能量函数给出，随着网络的训练，能量函数会逐渐变小。

可视为一动力系统，其能量函数的极小值对应系统的稳定平衡点。

Hinton发明的Boltzmann中乘热打铁，对神经元输出引入了随机概率重构的概念。其想法来自于模拟退火算法：

首先在高温下进行搜索，由于此时各状态出现概率相差不大，系统可以很快进入“热平衡状态”，是一种快速找到系统概率的低能区的“粗搜索”过程。

随着温度逐渐降低，各状态出现概率的差距逐渐被扩大，搜索精度不断提高。最后以一较高置信度达到网络能量函数的全局最小点。

随机重构则是Metropolis抽样提出的，作为模拟退火算法的核心：

也就是说，每次重构，都往Δ能量差减少的方向移动，这是RBM的cost函数设计核心，AutoEncoder也是受此启发。

Part I：RBM的结构与目标

RBM简化了Boltzmann网络，取消了每层神经元之间的连接，即不再是一个递归神经网络，更像是一个MLP。

定义联合能量函数： $E(v,h)=-b'v-c'h-h'Wv$   (b'、c'分别显隐bias做矩阵乘法,h'则是h的全部取值，RBM限定了取值范围{0,1}，由激活函数依据概率分布生成)

由此得到v的边缘概率分布：$P(v)=\sum_{h}\frac{e^{-E(v,h)}}{Z} \quad\quad Z=\sum_{v}\sum_{h}e^{-E(v,h)}$

Z是归一化常数，说白了就是保证概率在[0,1]之间凑出的式子，计算cost函数时可以无视。

RBM的目的是算出尽量符合v（即输入)的概率分布$P(v)$,即实现   $arg\max \limits_{W}\prod_{v\epsilon V } P(v)$

但是问题在于没有标签，没有误差，无法训练W，所以无法训练出$P(v)$的概率分布。

所以早期的RBM采用从h重构v'来计算误差。重构v'，说的好像挺简单，但是需要知道$P(v,h)$的联合概率分布，用这概率分布去生成v'。

通常情况下，联合概率分布无法计算，但是可以通过条件概率分布+迭代法近似模拟出符合联合概率的样本。

RBM中采用的是Gibbs采样来重构，是MCMC（Monte Carlo Markov Chain）的一种算法特例。

Monte Carlo是根据概率随机生成数据的算法统称，Markov Chain则是符合马尔可夫链的算法统称。【参考】

这样，只要通过又臭又长的马尔可夫链，使用Gibbs采样重构出新样本v'就好了。

有cost函数：$cost=arg\max \limits_{W}\sum_{v\epsilon V}logP(v)-arg\max \limits_{W}\sum_{v'\epsilon V'}logP(v')$

这个cost函数在实际计算时候简直是折磨，原因有二: ①Z毫无意义且计算麻烦 ② logP(v)牵扯到E(v,h)，E(v,h)的计算也麻烦。

所以Bengio在Learning deep architectures for AI一文中提出了简化的cost函数——FreeEnergy(自由能量)函数。

定义自由能量函数（无视Z+负对数似然）：

$ \begin{matrix}FreeEnergy(v)=-log(P(v)\cdot Z)\\\\\qquad\qquad\qquad\qquad=-log\sum_{h}e^{-E(v,h)}\end{matrix} $

重定义E函数：$Energy(v)=-b'v-\sum_{i}\sum_{h_{i}}h_{i}(W\cdot v+c),\quad h_{i}\epsilon {\{0,1}\}$

这里的精简比较神奇，$c'h$被刻意X掉了，论文里假设是h只有一个神经元，这样可有可无。c的梯度可以在后半部分求出，所以无须担心c无法更新。

尽管此时的cost函数已经崩坏（Z因子，c'项都不见了），但是骨子还在，对于Gradient Descent影响不大。

这样，参数对称的两部分，可以得到简化P(v) 【推导详见论文】:$P(v)=\frac{e^{b'v}}{Z}\prod_{i}\sum_{h_{i}}e^{h_{i}(W\cdot v+c)}$

于是有更加简化的自由能量函数：$FreeEnergy(v)=-b'v-\sum_{i}log\sum_{h_{i}}e^{h_{i}(W\cdot v+c)},\quad h_{i}\epsilon {\{0,1}\}$

由于取值非0即1，再次简化, $FreeEnergy(v)=-b'v-\sum_{i}log(1+e^{(W \cdot v+c)})$

最终，使用FreeEnergy(v)替代logP(v)，有简化cost函数：$cost=FreeEnergy(v))-FreeEnergy(v')$

Part II：重构与Gibbs采样

由于V层和H层，每层内各个神经元之间并无连接，因而这些神经元的概率分布是独立的，那么就可以加权通过激活函数计算单个结点的激活概率。

$P(h_{j}=1|v)=Sigmoid(W_{j}\cdot v+c_{j})\\P(v_{i}=1|h)=Sigmoid(W_{i}^{T}\cdot h+b_{i})$

注意反向重构时，同AutoEncoder一样，仍然使用Tied Weight。

这样，就有了条件概率分布，可以构建马尔可夫链了。

上图是一条波动的链，v₀->h₀普通的正向传播，忽略不计。

从h₀，正式开始Gibbs采样，一个step过程为，h_n->v_n+1->h_n+1，即hvh过程。

$v^{n+1}=Bernoulli-Sigmoid(W^{T}\cdot h^{n}+b)\\h^{n+1}=Bernoulli-Sigmoid(W\cdot v^{n+1}+c)$

当$t \to \infty$时，有$v^{t}\approx v'$

Part III  K步对比散度算法（CD-K）、可持久化对比散度算法（Persistent CD)

仔细想想RBM中的循环

①外循环：主迭代，训练W，近似逼近P(v|h)、P(h|v)。

②内循环，Gibbs采样，近似逼近P（v）

二重压力下，RBM网络的计算量实在可怕。

Hinton在2002年的 Training Products of Experts by Minimizing Contrastive Divergence 一文中有这个式子：

$-\frac{\partial}{\partial W_{ij}}(Q_{0}||Q_{\infty}-Q_{1}||Q_{\infty})\approx<s_{i},s_{j}>Q_{0}-<s_{i},s_{j}>Q_{1}$

即在求v、v'对比相差的cost函数的梯度，用以更新参数时，无限步Gibbs采样的效果与单步Gibbs采样效果差距不大。

数学上很难给出解释，疑似是Gradient Descent与Gibbs Sampling（Gibbs可以看作是GD的先行？）的迭代效果重合。通常取K=1或K=10（更精确）来减少计算量。

既然Gibbs Sampling可以看作是Gradient Descent的先行使者，那么每次做梯度法时候，不必重启马尔可夫链。

而是利用旧链尾产生的h_k，作为新链头h_0。

数学上仍然很难给出解释，直觉上说，Gradient Descent的小量更新并不会影响马尔可夫链继续扩展，即便狗尾续貂，效果仍然不错。

通过测试，可持久化CD在每次链长较长时效果比较好（k=15），若k=1，则影响较大，不建议使用，选择大量梯度比较稳妥。

Part IV  代理似然函数（Proxies to Likelihood）

Bengio的FreeEnerey方法一定程度上减轻了梯度法的计算量，但是为迭代收敛的评估带来巨大麻烦。

由于归一化因子Z的省略，若使用FreeEnerey的cost函数做评估，那么不同数据集的收敛值几乎是千奇百怪的。

所以需要建立一套数据集公用评估标准，即引入代理似然函数。

代理一：交错熵（or 最小二乘法）

AutoEncoder中使用的cost函数的修改版，Z变成了马尔可夫链尾的h。

$cost=v\cdot log(Sigmoid(W\cdot h^{-1}+b))+(1-v)\cdot log(1-Sigmoid(W\cdot h^{-1}+b))$

代理二：伪造似然函数（Pseudo likelihood)

仔细回想一下可持久化CD，马尔可夫链狗尾续貂，彻夜未眠。

这样，若一直使用链尾的h做交错熵，那么这个交错熵势必是不停波动的，并不很直观的。

因而，引入了伪造似然函数：每次选择v的某一维度值，取反，伪造成重构的v'。

有对数似然函数：$PL(x)=\sum_{i}logP(x_{i}|x_{-i})$

当然并没有必要那么精确，每次只需随机抽一个维度进行伪造，乘上N倍即可：

$PL(x)=N\cdot logP(x_{i}|x_{-i}) \quad\quad i\sim Random(0,N)$

$logP(x_{i}|x_{-i})$的条件概率计算颇为麻烦，利用条件概率公式+贝叶斯假设:

$ logP(x_{i}|x_{-i})\approx log\frac{P(x_{i})}{P(x_{i})+P(x_{-i})}\\\\=log\frac{e^{-FreeEnergy(x_{i})}}{e^{-FreeEnergy(x_{i})}+e^{-FreeEnergy(x_{-i})}}\\\\\approx log (Sigmoid(FreeEnergy(x_{-i})-FreeEnergy(x_{i}))) $

Part V  与AutoEncoder的关系

准确来说，AutoEncoder是RBM的简化衍生物。RBM是一个概率生成模型，而AutoEncoder只是一个普通的模型。

神经网络的本质是训练岀能够模拟输入的W，这样，在测试的时候，遇到近似的输入，W能够做出漂亮的响应。

RBM选择概率，是因为有概率论的公式支持。这样优化网络，能够达到上述目标。

只是原始目标不好优化，Hinton才提出对比训练的方法，即绕了个弯子的选择重构。

能量函数使得W朝更大概率方向优化。但是，正如线性回归有最小二乘法和高斯分布两种解释一样。

其实，W的训练大可不必拘泥于概率，AutoEncoder则绕过了这点，直接选择了加权重构，所以cost函数简单。

可以这么说，重构的数学理论基础就是RBM的原始目标函数。而概率重构启发了直接重构。两者近似等价。

从马尔可夫链上看，AutoEncoder可看作是链长为1的特殊形式，即一次重构，而RBM是多次重构。

能使用直接重构的另一个原因是，Hinton在实验中发现，梯度法的一次重构效果出奇好。

所以AutoEncoder中摒弃了麻烦的Gibbs采样过程。

从GPU计算来看，k=1情况下，AutoEncoer的GPU利用率高(70%),RBM利用率低（30%），一开始实现的时候吓了一跳。

CUDA执行马尔可夫链效率并不高，目测二项分布随机重构是由CPU执行的（ _(:_」∠)_想想好像GPU没那么高级  ）

尤其在把batch_size设为600之后，RBM的GPU利用率居然只有（10%), 所以官方教程把batch_size设为了20，来减小概率生成的计算压力。

当然k=15时，GPU加速之后仍然十分缓慢。RBM不愧是硬件杀手。

（本图来自MSI Afterburner，GTX 765M，OC（847/2512/913））

Part VI  Gaussian-Bernoulli RBM

仔细看看Bernoulli-Bernoulli的重构过程：

[0/1]->[0/1]->[0/1].....，由于二项分布是离散概率分布，所以重构生成值要么是0，要么是1，似乎有些不靠谱。

所以，就有了Gaussian-Bernoulli  RBM，在v层中强制引入连续数值型Gaussian噪声，主要对原RBM做以下修改：

$E(v,h)=\sum_{i}\frac{(v_{i}-b{i})^{2}}{2\sigma{i}^{2}}-c'h-h'W\frac{v}{\sigma }
\\P(v_{i}=v|h)=N(b_{i}+\sigma _{i}(W\cdot h),\sigma _{i}^{2})
\\P(h_{i}=1|v)=Sigmoid(W\cdot \frac{v}{\sigma }+c)$

其中$Size(\sigma)=NVisble$，为正态分布标准差，为正值，一般不作训练，取定值1，原因有二：

其一：梯度法训练会产生负值和0，导致训练失败

其二：Gaussian过程并不需要精确的范围，取的只是正态分布的连续特征，提供Gaussian噪声。

当然，还是有人提出了可训练$\sigma$的改进方法，个人实际测试并没有成功，$\sigma$在梯度下降过程中，出现了过大数值问题，导致网络崩溃。参考

Gaussian过程极易产生误解，由于正态分布的取值范围是R，所以对比散度样本不可以再使用由Gaussian分布生成v’

Gaussian过程主要为从二项[0/1]的h，提供一个连续型重构缓冲范围，而不仅仅把马尔可夫链的运行局限在0/1之间

这样做的原因是，一般输入是连续型值，符合的是0~1之间的连续概率分布，而不是简单的离散二项分布。

然后再把Gaussian分布映射回Bernoulli分布h'，最后使用的是h[-1]，令：$v'=Bernoulli-Sigmoid(W\cdot h[-1]+b)$

对比图如下：

     

左图（Bernoulli-Bernoulli）     右图（Gaussian-Bernoulli)

可以看到，Gaussian分布使得参数学习到了更多的特征，但是也带来了更大的重构误差，以及更快下降到局部最小值。学习率和Bernoulli-Bernoulli相同情况下，epoch2就过拟合了。

Hinton在 A practical guide to training restricted Boltzmann machines 提到，Gaussian-Bernoulli模型不稳定，由于Gaussian分布的上界不定，

所以，学习率较之于Bernoulli-Bernoulli应该下降1~2个数量级。同时，应当慎用CD-10、Persistent CD，这些会带来更不稳定的重构。（个人测试情况，似然几乎无法下降）