文档主题生成模型（LDA）

一．问题描述

1.1文本建模相关

统计文本建模的目的其实很简单：就是估算一组参数，这组参数使得整个语料库出现的概率最大。这是很简单的极大似然的思想了，就是认为观测到的样本的概率是最大的。
建模的目标也是这样，下面就用数学来表示吧。
一开始来说，先要注意假设了一些隐变量z，也就是topic。每个文档都符合一个topic的分布，另外是每个topic里面的词也是符合一个分布的，这个似然是以文档为单位的。极大似然式子全部写出来是下面的样子的

其中的M表示文档个数。其中的α，就是每个文档符合的那个topic分布的参数，注意这个家伙是一个向量，后面会再描述；其中的β，就是每个topic里面的词符合的那个分布的参数，注意这个也是一个向量。
本来到这里看起来挺简单的，就是一个普通的极大似然估计，估计好参数α和β，就大功告成了。
如果是传统的极大似然估计，好办了，求个梯度，梯度为0的地方就是解了，这里这个东西偏偏多了个隐变量，就是每个词属于哪个topic的？还有每个文档属于哪个topic的？比如，每个文档的topic是怎么分布的（意思就是，每个文档是按概率属于各个topic的，当然，各个topic的词的分布情况是不一样的，比如有金融，电商两种topic，文档有可能是0.3的概率属于金融，0.7的概率属于电商），还有文档里面每个词有来自哪种类型的词的分布的（意思就是，每个词来自哪个topic的，每个topic里面的词分布不一致的，如金融topic里面“人民币”这个词的概率是0.7，“商品”这个词的概率是0.3；电商topic里面“人民币”这个词的概率是0.4，“商品”这个词的概率是0.6）。
这个玩笑就开大了，直接求解就玩不动了，只好用其他算法了。
候选的比较大众的求解有隐变量的算法有EM。
下面先把似然函数用全概率表示出来再做讨论吧。
假设一个文档w_m的topic分布（doc-topic分布）已知，用向量θ_m表示（这个向量的每一项的和为1，总体可以表示一个概率分布），每个词来自哪个topic已知，用z_(m,n)表示，每个topic的词分布用矩阵中的一行（topic-word分布）表示（这是一个K*V的矩阵，其中V表示语料库中的词的数量，第一行表示第一个topic里面的词分布）。
在已知上面的这些条件的情况下，计算一个文档的整个联合complete-data的联合分布（意思就是所以变量都已知的情况下）的式子如下
    （3）
中括号里面的是生成词的过程，大括号里面是生成文档的过程，最右边的那个概率就是∅的后验概率。注意z_m是一个向量，维度为Nm。
这么一堆东西，还是很复杂的，中间有这么多的奇怪的变量，计算起来的复杂读可想而知了，为了跟似然函数联系起来，通过对θ_m（doc-topic分布）和Φ（topic-word分布）积分，以及对z_(m,n)求和，得到只有w_m的边缘分布

（4）
那个累加号被去掉的原因是：在参数θ_m和φ_(z_(m,n) )都已知的情况下，一个词t被产生的概率是

（5）
这下好了，每个文档的似然概率有了，可惜没啥用，实际上这个边缘分布是求不出来的，因为z_(m,n)是隐藏变量，每个词都跟θ_m和Φ都跟z_(m,n)有关，那个连乘又是非常难用积分得到的，这个就是耦合现象。要注意联合分布和边缘分布对z乘积与加和的区别。另外，有些文献上是没有Φ相关的项的，这个看起来各种费劲，以后想清楚后回来解释。

1.1.1 概率公式相关讨论

对于公式（3），要多讨论点，这个是LDA模型的重要的东西，这里说为啥公式是长这个样子的。
先直接抄《LDA数学八卦》的例子，就是文档怎么生成的，直接截图如下

再不懂装懂，搞个概率图模型来看看。

最上面的那个公式代表的就是步骤2——先弄K个topic-word骰子，为了符合贝叶斯学派的口味，这个K个骰子是有先验分布的，先验分布就是一个Dirichlet分布，参数是β，具体在公式（3）中的表现为p(Φ|β)。
步骤3中，“抽取一个doc-topic骰子”，就是图下面的那个第一个水平的箭头，具体在公式（3）中表现为p(θ_m |α)。“投掷这个doc-topic骰子，得到一个topic编号z”这句话说的就是图下方第二个水平的箭头，具体在公式（3）中表现为p(z_(m,n) |θ_m)。步骤3中的第二步“选择K个topic-word骰子中编号为z的那个，投掷这个骰子，得到一个词”这句话说的是图右上角那个垂直的箭头，在公式（3）中具体表现为p(w_(m,n) |φ_(z_(m,n) ))。
就是这个过程，导致了公式（3）长成了现在这个样子，够复杂，而且够棘手，直接去搞公式（4）来计算似然基本没戏的。

1.1.2 似然函数求解

上面小节说过了，计算似然函数是没戏的。
大众候选算法还有EM，其实也不能解这样的问题，因为EM算法依赖条件概率

其中的矩阵Θ，就是doc-topic分布矩阵，是一个M*K的矩阵，只是这也是一个隐变量对应的参数，就是文档的topic的先验分布。
如果非要用EM算法，这里就需要利用另一个分布去拟合这个条件概率，这个就是变分法。变分法的基本思想就是：因为条件概率不好求，但是联合概率是已知的，就可以使用一种类似EM的方法，使用另外的一个概率函数去拟合要求的这个条件概率。具体资料以后再整理。
还好的是LDA没有把参数α和β作为求解的最终目标，目标另有其人。
这个什么极大似然，什么语言模型是个幌子。就像word2vec里面，其实目标是那些词向量，也就是那些参数值。用LDA来解，就更离谱了，连参数α和β这两个参数值都不是目标，而是那些隐变量对应的参数比较重要。
不管用什么方法求解，这个LDA的目的是要做推理。
其实需要求的东西其实是下面的式子
       (6)
第一个等号后面的分母p(w_m│α,β)就是上面公式（4）的那个值，参数θ_m（doc-topic分布）和Φ（topic-word分布）不见了是因为这两个量已经用观察到的w_(m,n)和对应的z_(m,n)求积分得到了跟这两个量无关的值，(论文上这个方法叫collapsed Gibbs Sampling，即通过求积分去掉一些未知变量，使Gibbs Sampling的式子更加简单)，其实意思就是，参数θ_m和Φ已经使用MCMC的方法估算到了相应的值，估算的时候使用的样本就是训练样本，这里是一个奇怪的地方，有精力回来解释得容易理解点。
就算是这样，哪怕都搞走了这么多参数，分母也不见得好求，一篇文章光求和的项就有K^(N_m )个。
到了这一步，其实大家应该明白了，为啥（6）要表示成那样给大家看看，因为真的只是看看而已，还可以写成其他表现形式，但都不重要了，最后都会给出一个结论的，这个分母没法求，只好用其他办法了。
公式（6）这个条件概率就是要拟合出来的分布。当然，在拟合这个分布过程中，产生了副产品——所有文档的在各个topic上的分布。一旦α和β确定了，每个文档在各个topic上的分布可以直接得到，这个副产品才是求解的目的。
现在问题明确了，贝叶斯推理需要公式（6）的分布，拟合这个分布中产生的副产品是LDA产出的结果，有这结果就能用来做推理。

二．问题求解

2.1 LDA模型求解目标

上面说清楚了，求解LDA就是拟合公式（6）的那个分布，中间要把doc-topic分布矩阵和topic-word分布矩阵求出来。
论文总提到的方法是Gibbs Sample方法，下面就开始介绍。

2.1.1 LDA Gibbs Sample方法简介

这里介绍论文中的Gibbs Sample方法怎么拟合的。
这个Gibbs Sample方法也不多介绍，因为具体没弄得特别理解。只知道这个方法的具体步骤：假设观测到的变量是x，隐变量是z（这两个都是向量），通常需要整出来的都是条件概率p(z|x)，只是这个条件概率比较难求，只知道了联合概率p(z,x)（必须知道），Gibbs Sample方法的处理方式就是构造下面的条件概率

使用上面的条件抽取z的R个样本z_r，r∈[1,R]，当样本数量足够多的时候，条件概率可以用下面的式子近似了

其中的δ函数形式是

也就是，如果u是个0向量，就是1，否则是0.
解决的方案有了，还有个条件需要具备，就是联合概率。

2.1.2求联合概率

联合概率表示如下

这个联合分布是公式（3）利用积分去掉了参数θ_m（doc-topic分布）和Φ（topic-word分布）得到的，可以看到右边的式子，第一个概率跟α，第二个概率跟β无关。这样这两个概率就可以单独处理了。
先看第一个分布p(w|z,β)，如果给定了一组topic-word分布Φ，这个概率可以从观测到的词中生成：

其中zi表示语料库中的第i个词的topic，wi表示语料库中的第i个词，W表示语料库中的词数。
意思是，语料库中的W个词是根据主题zi观察到的独立多项分布(我们把每个词看做独立的多项分布产生的结果，忽略顺序因素，所以没有多项分布的系数)，就是一个多项式分布。注意φ_(z_i,w_i )是矩阵Φ中的第zi行第i列的元素，顺便提醒一下这个矩阵Φ其实就是LDA要学习的一个东西，是K*V的矩阵，K是topic数，V是词汇数；另一个LDA要学习的东西就是矩阵Θ，也就是doc-topic分布矩阵，是一个M*K的矩阵，矩阵的第一行表示第一个文档的topic分布。
把这个概率拆分到矩阵Φ的每一行和每一列去，得到下面的式子

其中n_(z,t)表示词t在topic z中出现的次数。
那么要求的第一个分布p(w|z,β)，就可以通过对Φ的积分来求得

其中是一个V维向量，表示在topic z中，各个词出现的次数。
从这里看来，整个语料库就可以认为文档是K个独立的多项式分布生成的。
同样的，第二个分布p(z|α)也可以这么计算，给定了如果给定了一组doc-topic分布Θ，这个概率可以从语料库中的每个词的topic来得到

其中di表示第i个词来自哪个文档，n_(m,z)表示文档m中topic z出现的次数。
把这个概率根据矩阵Θ进行积分，就得到第二个分布表示了

其中是一个K维向量，表示在第m个文档中，各个topic出现的次数。
联合分布就变成了
     (7)

2.1.3求完全条件分布

根据上面的公式（7）就能得到Gibbs Sample方法所需要的条件分布
     (8)

其中第一个“=”号的分母，是因为根据（1.2.1）中，一个联合概率对zi做了积分得到的结果就是没有这个zi的边缘分布。表示这个向量没有第i列，t表示第t个词。
1、最后一步那个正比符号出现是因为右下角那一项对所有的zi都一样，无论有一个词分配到了那个topic， 都是一样的，而在Gibbs Sample方法中，同等放大是可以的，所以很多的程序实现都只计算这三项。
2、对于第m篇文档中的第n个词假设刚好就是语料库中的第t类词，它的topic是z，有两个性质可以使用。另外。
利用这个式子，抽样就可以进行了。
要注意的是，i是要遍历整个topic空间的，即i从1到K，需要计算K个概率的。
这里的步骤就是不断迭代的，每次迭代都为每个词抽样一个新的topic，然后再根据每个词对应的topic情况估算doc-topic分布Θ和topic-word分布Φ。

2.1.4抽样后更新参数

抽样后怎么更新两个分布矩阵中的元素呢？
来点推导，对于语料库中的第i个词w_i=t，其topic为z_i=k，同时令i=(m,n)，意义为该词为第m个文档的第n个词。
回到（1.1.1）中的概率图，

这个概率图分成两个物理过程来看：
，这个过程表示在生成第m 篇文档的时候，先从第一个坛子中抽了一个doc-topic骰子θ_m，然后投掷这个骰子生成了文档中第n个词的topic编号z_(m,n)=k。
，这个过程表示用如下动作生成语料中第m篇文档的第n个词：在上帝手头的K个topic-word 骰子Φ中，挑选编号为z_(m,n)=k的那个骰子φ_k进行投掷，然后生成词w_(m,n)=t。
对于第一个过程来说，α→θ_m→z_m这个过程会生成第m篇文档的所有tipic。《LDA数学八卦》说过，取先验分布为Dirichlet分布，所以前半部分对应于Dirichlet分布，θ_m→z_m就对应于Multinomial 分布。这样就构成了一个Dirichlet-Multinomial 共轭结构，如下图

利用这个共轭结构，可以得到参数θ_m的后验概率是，M个文档就有M个这样的共轭结构，其中n_m是一个K维向量，表示第m个文档中各个topic产生的词数。
由于LDA是一个bag-of-words结构，各个词之间都是可以自由交换的。比如说，在第一步中，可以先把所有文档的所有词的topic先全部生成，再把词一个个生成。这样的话，第二步也可以所有相同的topic放在一起，把相应的词生成。这样的话，对于topic k中的所有词来说，这一步就变成了，这样再看，前半部分对应于Dirichlet分布，后半部分对应于Multinomial 分布，整体构成一个Dirichlet-Multinomial 共轭结构，如下图

利用这个共轭结构，可以得到参数φ_k的后验概率是，K个topic就有K个这样的共轭结构，其中n_k是一个V维向量，表示第k个topic中的产生的各个词的数量。
具体为啥共轭机构会有这样的效果，具体参看《LDA数学八卦》，里面说得很清楚了。
根据论文《Parameter estimation for text analysis》中θ_(m,k) 和φ_(k,t) 的定义，计算参数矩阵这两个值的更新方式如下
    (9)
    (10)
这就得到了更新的式子，但是在实际代码中，往往需要在语料库去掉第i个词对应的(z_i,w_i)，当然这不会改变分布的共轭结构，在去掉第i个词后，更新的式子变成如下的情况了。
    (11)
    (12)
公式（11），（12）还可以用来在Gibbs Sample方法中计算完全条件分布(如下
    (13)
这种方式就是《LDA数学八卦》选用的方式。
抽样的过程也要注意的，就是要把一个词属于每个topic的概率都计算完了，利用抛绣球的方式抽到了这个词的一个topic（抛绣球的方式就是：假如topic1的概率是0.2，topic2的概率是0.3，topic3的概率是0.5，那么就弄10个桶，1号和2号是topic1的，3到5号是topic2的，6到10号是topic3的，产生一个1到10的随机数（抛的过程），看落到哪个桶就是那个topic）。

2.2 LDA模型整体流程总结

经过上面的讨论，各个环节也算是整理了一遍，当然是选用了其他通用的方法，其实在拟合条件概率p(z│w,α,β)的方法也是有其他的，这里不打算多介绍了。
下面总结一下LDA模型的训练和推理过程，其实上面那么多的东西，要做的工作其实是能完成对一篇文档的topic分布的估算，无论是用判别模型来做，还是生成模型的方法来做，LDA其实就是解决了这么一个问题。而LDA是一个生成模型，要追溯样本当初来源的那个分布，这就导致了各种分布的拟合与假设，这个方面水比较深，有精力后回来再多解释。
对于目前文本建模的目标来说，是分两步的：
就是要根据当前语料库所有的文档，建立模型，模型建立和选最优往往是伴随着参数的获取得到的，就有了各种估计参数的方法；这一步可以称为训练过程。
有了最优的参数，模型也建立了，就需要对新来的文档，根据目前的参数，计算这个文档的topic分布，这一步可以成为预测过程，也就是推理过程。
借用《LDA数学八卦》的东西，这两步可以用下面的话描述：
估计模型中的两个参数：doc-topic分布矩阵Θ={θ_m }_(m=1)^M和topic-word分布矩阵Φ={φ_k }_(k=1)^K。
对于新来的一篇文档Dnew,能够计算这篇文档的topic分布θ_new。

2.2.1 LDA 训练过程

这个自己就不多写了，直接从《LDA数学八卦》截个图吧。

2.2.12LDA 推理过程

训练过程结束后，得到了参数doc-topic分布矩阵Θ={θ_m }_(m=1)^M和topic-word分布矩阵Φ={φ_k }_(k=1)^K。
第一个doc-topic分布矩阵对于推理来说并没有用处，在工程上一般不保存，但是，如果训练过程就是为了对已有文档进行处理，也可以保存下来就进行使用的。
第二个topic-word分布矩阵Φ={φ_k }_(k=1)^K在推理的时候需要用到。来了一个新文档后，根据Gibbs Sampling公式(13)（公式(8)也可以的）为每个词的topic进行抽样，最终稳定后就得到了这篇文档的topic分布θ_new，注意在利用公式（13）计算条件概率的时候，公式中的φ ̂_(k,t)保持不变。
直接从《LDA数学八卦》截个图吧。

到这，LDA模型基本的东西就完了。

三．未整理的符号说明

以上的符号很多，这里提供一个未整理的，只能大致应的，来自腾讯广告的博客“火光摇曳”。有精力后整理一个本文的吧。

原文：http://blog.csdn.net/mytestmy/article/details/39269105