「SHOI2015」超能粒子炮・改

「SHOI2015」超能粒子炮・改

给你\(T\)组询问，每组询问给定参数\(n,k\)，计算\(\sum\limits_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\).

\(T\leq10^5,n,k\leq10^{18}\).

这题其实是\(\operatorname{Lucas}\)定理的一个简单扩展。

首先利用\(\operatorname{Lucas}\)定理化简所求和式，由\(\dbinom{n}{m}=\dbinom{n/p}{m/p}\times\dbinom{n\%p}{m\%p}\pmod p\)得：

\[\begin{align*}
\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}&=
\sum_{i=0}^k\binom{n/p}{i/p}\binom{n\%p}{i\%p}\\
&=\sum_{i=0}^{p-1}\binom{n\%p}{i}\sum_{j=0}^{k/p-1}\binom{n/p}{j}+\binom{n/p}{k/p}\sum_{i=0}^{k\%p}\binom{n\%p}{i}
\end{align*}
\]

在该和式中，\(\sum\limits_{i=0}^{p-1}\dbinom{n\%p}{i}\)和 \(\sum\limits_{i=0}^{k\%p}\dbinom{n\%p}{i}\)都可以用\(\Omicron(p^2)\)的时间复杂度预处理，而\(\dbinom{n/p}{k/p}\)可以利用\(\operatorname{Lucas}\)定理在\(\Omicron(\log_pn)\)的时间复杂度内计算。

所以我们只要能够计算出\(\sum\limits_{i=0}^{k/p-1}\dbinom{n/p}{i}\)就可以快速计算出\(\sum\limits_{i=0}^{k}\dbinom{n}{i}\)，而这两个式子形式相同，并且每次\(n,k\)规模减半，所以可以递归解决，并且次数不超过\(\log n\)次。

所以总时间复杂度为\(\Omicron(T\log^2n)\).

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=2333;
int T,c[mod+5][mod+5],pre[mod+5][mod+5];
inline ll read(){
    ll res=0,f_f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f_f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+(ch-'0'),ch=getchar();
    return res*f_f;
}
inline void Gmo(int &x){
    while(x<0) x+=mod;
    while(x>=mod) x-=mod;
}
inline void init(){
    c[0][0]=1;
    for (int i=1;i<mod;i++){
        c[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=i;j++){
            c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
            Gmo(c[i][j]);
        }
    }
    for (int i=0;i<mod;i++){
        pre[i][0]=c[i][0];
        for (int j=1;j<mod;j++){
            pre[i][j]=pre[i][j-1]+c[i][j];
            Gmo(pre[i][j]);
        }
    }
}
inline int Lucas(ll n,ll m,int p){
    if(m==0) return 1;
    return 1ll*c[n%p][m%p]*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
inline int calc(ll n,ll k,int p){
    int x=1ll*Lucas(n/p,k/p,p)*pre[n%p][k%p]%mod;
    if(k<p) return x;
    int y=1ll*calc(n/p,k/p-1,p)*pre[n%p][p-1]%mod;
    return (x+y)%mod;
}
int main(){
    T=read(),init();
    while(T--){
        ll x=read(),y=read();
        printf("%d\n",calc(x,y,mod));
    }
    return 0;
}