[POJ3783]Balls 题解
题目大意
鹰蛋问题.$
n\(个蛋,\)m\(层楼. 存在一层楼\)E\(,使得\)E\(以及\)E\(以下的楼层鹰蛋都不会摔碎,问最坏情况下最少多少次能够知道\)E$.
非常经典的模型,初看题目根本想不到用什么方法做,一开始可能会想到二分答案、单调队列和一些线性的东西。但是明确的说:这些都是不可行的!
正确的解法其实是\(DP\)
设计状态:
\(f[i][j]\)表示\(i\)个蛋,确定\(j\)层楼的\(E\)的答案. 如果当前在第\(k\)层扔蛋,两种可能:
- 蛋碎了,那么还剩下\(i-1\)个蛋,第\(j\)层不是\(E\)层,还有\(j-1\)层需要确定,可以从\(f[i-1][j-1]\)转移而来.
- 蛋没碎,还剩下\(i\)个蛋,第\(k\)层以下都不可能是\(E\)层了,还剩下\(j-k\)层需要确定.那么从\(f[i][j-k]\)转移而来. 注意,这里的从上往下数\(j-k\)层和从下往上数\(j-k\)层本质上是没有区别的,所以可以把这\(j-k\)层看作一个新的高\(j-k\)层的楼.
接着就是重中之重了,如何转移? 事情总是朝着最坏的方向发展的. 第\(k\)层会不会摔碎实际上是不能确定的!要从最坏的状态转移而来!那么状态转移方程就是:\(f[i][j]=min(max(f[i-1][j-1],f[i][j-k])+1,f[i][j])\).
然后就可以很快写出代码:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;
int T , cas , n , m ;
int f[ 3005 ][ 3005 ] ;
inline void solve () {
memset ( f , 0x3f , sizeof ( f ) ) ;
for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) f[ i ][ 0 ] = 0 ;
for ( int i = 1 ; i <= m ; i ++ ) f[ 1 ][ i ] = i ;
for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
for ( int j = 1 ; j <= m ; j ++ ) {
for ( int k = 1 ; k <= j ; k ++ )
f[ i ][ j ] = min ( f[ i ][ j ] , max ( f[ i - 1 ][ k - 1 ] , f[ i ][ j - k ] ) + 1 ) ;
}
}
}
signed main () {
scanf ( "%d" , &T ) ;
while ( T -- ) {
scanf ( "%d%d%d" , &cas , &n , &m ) ;
solve () ;
printf ( "%d %d\n" , cas , f[ n ][ m ] ) ;
}
return 0 ;
}
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