数学分析理论（rudin版）笔记：实数系和复数系.2：抄书版

• 有理数（rational number）记为 Q，实数记为 R
• 虽然任意两个不同的有理数间还有一个有理数，但是有理数集中还是会有 “间隙”，而实数集填补了这些间隙．
• 集合（set）：属于（in） x∈A，不属于（not in） x∉A
• 空集（empty set），非空（none empty），子集（subset） A⊆B，超集（superset） B⊇A，真子集（proper subset）
• 有序集（ordered set），任意不相等的两个元可以比较大小
• 有上界（bounded above）：任意元小于等于超集中的某个元．上界（upper bound）
• 最小上界（least upper bound，supremem）：α=supE；最大下界（greatest lower bound，infimum）：α=infE
• 如果对于任意非空有上界的 E⊂S，都有 supE∈S，那 S 就具有 upper bound property
• 域（field） 集合 F 定义了加法和乘法．加法满足：闭合性，交换律，结合律，存在 0 元，存在逆元．乘法满足：闭合性，交换律，结合律，存在单位元，存在倒数．加法和乘法满足分配律．
• 有理数集是一个域
• 有序域（ordered field）
• 存在一个有序域 R 具有 upper bound property，且有理数集 Q是其子集．R 就是实数．
• 实数的阿基米德性质：存在整数 n 使 nx>y（x>0）
• x∈R，x>0，n 为整数，存在实数 y 使 yⁿ=x
• 稠密（dense）: 两个不同的实数间必有一个有理数
• extended real number system 是在实数集基础上加入 ±∞ 两个符号．对任何实数有 −∞<x<+∞．所有非空子集都有最小上界和最大下界．相比于无穷，实数集中的元被称为 finite．
• 复数是一对有序实数 (a,b)，定义了加法和乘法后，就变成了一个域．定义 i=(0,1)．
• 对正整数 k，R^k 定义为所有 k 个有序实数的集合 x=(x₁,…,x_k)，其中 x_i 叫做坐标．
• 定义 R^k 中的内积为 x⋅y=∑_^ki=1 xiyi
• 定义模长为 |x|=(x⋅x)^1/2
• 定义了内积和模长的 RkRk 被称为欧几里得 k 空间（euclidean k-space）．这也是一个度量空间（metric space）（见下文）．通常 R¹ 叫做线，R² 叫做面