数学分析理论(rudin版)笔记:实数系和复数系.2:抄书版
- 有理数(rational number)记为 Q,实数记为 R
- 虽然任意两个不同的有理数间还有一个有理数,但是有理数集中还是会有 “间隙”,而实数集填补了这些间隙.
- 集合(set):属于(in) x∈A,不属于(not in) x∉A
- 空集(empty set),非空(none empty),子集(subset) A⊆B,超集(superset) B⊇A,真子集(proper subset)
- 有序集(ordered set),任意不相等的两个元可以比较大小
- 有上界(bounded above):任意元小于等于超集中的某个元.上界(upper bound)
- 最小上界(least upper bound,supremem):α=supE;最大下界(greatest lower bound,infimum):α=infE
- 如果对于任意非空有上界的 E⊂S,都有 supE∈S,那 S 就具有 upper bound property
- 域(field) 集合 F 定义了加法和乘法.加法满足:闭合性,交换律,结合律,存在 0 元,存在逆元.乘法满足:闭合性,交换律,结合律,存在单位元,存在倒数.加法和乘法满足分配律.
- 有理数集是一个域
- 有序域(ordered field)
- 存在一个有序域 R 具有 upper bound property,且有理数集 Q是其子集.R 就是实数.
- 实数的阿基米德性质:存在整数 n 使 nx>y(x>0)
- x∈R,x>0,n 为整数,存在实数 y 使 yn=x
- 稠密(dense): 两个不同的实数间必有一个有理数
- extended real number system 是在实数集基础上加入 ±∞ 两个符号.对任何实数有 −∞<x<+∞.所有非空子集都有最小上界和最大下界.相比于无穷,实数集中的元被称为 finite.
- 复数是一对有序实数 (a,b),定义了加法和乘法后,就变成了一个域.定义 i=(0,1).
- 对正整数 k,Rk 定义为所有 k 个有序实数的集合 x=(x1,…,xk),其中 xi 叫做坐标.
- 定义 Rk 中的内积为 x⋅y=∑ki=1 xiyi
- 定义模长为 |x|=(x⋅x)1/2
- 定义了内积和模长的 RkRk 被称为欧几里得 k 空间(euclidean k-space).这也是一个度量空间(metric space)(见下文).通常 R1 叫做线,R2 叫做面
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