算法 之 3n+1问题

卡拉兹(Callatz)猜想：

　　对任何一个自然数n，如果它是偶数，那么把它砍掉一半；如果它是奇数，那么把(3n+1)砍掉一半。这样一直反复砍下去，最后一定在某一步得到n=1。卡拉兹在1950年的世界数学家大会上公布了这个猜想，传说当时耶鲁大学师生齐动员，拼命想证明这个貌似很傻很天真的命题，结果闹得学生们无心学业，一心只证(3n+1)，以至于有人说这是一个阴谋，卡拉兹是在蓄意延缓美国数学界教学与科研的进展……

猜想内容：　对于任意大于1的自然数n，若n为奇数，则将n变为3n+1，否则变为n的一半。经过若干次这样的变换，一定会使n变为1。例如3->10->5->16->8->2->1。
　　　　　　输入n，输出变换的次数。n≤10^9。
　　　　　　样例输入：3
　　　　　　样例输出：7　　　　（有的博客输出为5是考虑的变化次数 这里是把每一次出现的都算作一次）

#include<stdio.h>
int main(void)
{
    int n;
    int count=0;
    scanf("%d", &n);
    while(n > 1)
    {  
        if(n%2 != 0)
            n = (3*n + 1)/2;
        else
            n /= 2;
        count++;
    }
    printf("%d\n", count);
    return 0;
}

然而，程序正确吗？很不幸，如果输入987654321，答案为1，这显然是错误的。通过调试或者在循环体中用printf语句打印出n的值，看到n的值为负数，导致一次循环后程序退出。从这里可以获悉n的值溢出了，因为整型最大值为2^31-1 = 2147483647，大约为21亿，而由题意n的最大值为10亿（10^9），所以在n的值颇大且为奇数时乘以3是危险的，会导致溢出。

解决方案如下：

因为奇数*奇数=奇数，所以经过n=3*n+1的计算后，n的值必然是偶数，并且下次循环必然做运算n/=2，所以这里可以合并这两步，也就是n为奇数的情况下做运算n=floor(1.5*n+0.5)，由于double值的误差问题，我们可以用n=floor(1.5*n+1)（floor函数接收double类型的参数，返回不大于给定参数的最大整形数，返回值类型为double），将取整后的double值赋给整形从而丢弃小数点。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main(void)
{
    int n;
    int count=;
    scanf("%d", &n);
    while(n > )
    {
        if(n% != )
        {
            n = floor(1.5*n + );
            count += ;
        }
        else
        {
            n = n / ;
            count++;
        }
    }
    printf("%d\n", count);
    return ;
}

使用 long long版本的亦可以算出正确结果

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n2;
    int count=;

    scanf("%d", &n2);
    long long n = n2;

    while(n > )
    {
        if(n% != )
            n = (n *  + 1)/2;
        else
            n = n / ;
        count++;
    }
    printf("%d\n", count);
    return ;
}

参考资料：《算法竞赛入门经典》——刘汝佳

经验:

1、c99支持了for循环()内定义变量

2、while(scanf("%d%d",&begin,&end)!=EOF);

最后一些疑惑（望看到的高手能解答一二，吾将不胜感激）：

1、这里第二个程序是我依照作者的提示写的，自认应该正确吧:-)，但是还是有一些疑惑，比如我们考虑了第一次n的输入值，但是循环

　　中的第二次，第三次...呢?我们如何说明以后循环的值不会发生溢出呢？

　　比如开始时n的值为7，那么一次循环后其值为11，而11>7。也就是说二次循环的值大于7。

2、再者，我们如何知道经过若干次的变换后一定会得到1呢，也就是说我们如何知道函数收敛呢？嗯...这貌似是一个数学问题啊。

关于这个问题的答案我是在数学科普神犇顾森的博客中找到的，其博客地址在这里Matrix67(顺便推荐，很好的博客呢)，原文见这里千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜（一），下面把与该问题相关的文字摘录在这里：

数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和 Goldbach 猜想、 Riemann 假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论
，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。
作为一本数学趣题集， Mathematical Puzzles 一书中竟把仍未解决的数学趣题单独列为一章，可见这些问题有多么令人着迷。我从这一章里挑选了一些问题，在这里和大家分享一下。这本书是  年出版的，
书里提到的一些“最新进展”其实已经不是最新的了；不过我也没有仔细考察每个问题当前的进展，因此本文的信息并不保证是 % 准确的，在此向读者们表示歉意。
3x +  问题
　　从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以  ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的  倍后再加  。序列是否最终总会变成 , , , , , , … 的循环？这个问题可以说是一个
“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从 3x +  问题的各种别名看出来： 3x +  问题又叫
 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做 3x +  问题算了。
    3x +  问题不是一般的困难。这里举一个例子来说明数列收敛有多么没规律。从  开始算起，  步就掉入了“ 陷阱”：, , , , , , , , , , , , , , …
    但是，从  开始算起，数字会一路飙升到几千多，你很可能会一度认为它脱离了“ 陷阱”；但是，经过上百步运算后，它还是跌了回来：
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
 , , , , , , , , , , , …

额外，再说一点：如上所述，既然数列的收敛如此没有规律，那么上面我们的程序可能是错误的（包括优化过后的那个）。举一个例子，我们用 long long int 做一个测试：

#include<math.h>
int main(void)
{
    long long int n;
    int count=; // 统计计算次数

    scanf("%I64d", &n); // long long int在windows下一定要用%I64d读入数据，否则会出问题(比如数据截断什么的)
    long long max = ;  // 记录计算过程中出现的最大值

    while(n > )
    {
        if(n% != )
        {
            //n = floor(1.5*n + 1);
              n = (n *  + 1)/2;
        }
        else
        {
            n = n / ;
        }
        count++;
        printf("%I64d\n", n); // 输出也使用%I64d

        if(n > max)
            max = n;
    }

    printf("%d\n%I64d\n", count, max);

    return ;
}

我们输入704511，最后那个printf函数的输出结果：242，56991483520。可见其中间值有5百亿这么大，而用 n = floor(1.5*n + 1) 语句代替 n = n * 3 + 1；输出的中间值为28495741760，也有2百亿那么大，int类型存不下这么大的数据，所以之前的两个程序在测试强度不够的情况下表面上看是正确，实则是错误的。
最后，写的这里，应该可以告一段落了。

转自 ：http://www.cnblogs.com/xpjiang/p/4129340.html