数学概念的提出（一） —— 熵的定义式 H(x)=-log2(p(x))

h(x)=−log2p(x)

考虑一个离散型随机变量 x，当我们观测到该变量的一个特定值，问此时我们通过该值获得的关于该变量的信息量是多少？

• 信息量可视为“意外的程度”（degree of surprise）关于对该随机变量 x 的掌握；
• 如果该事件发生了，而我们事先被告知，该事件极不可能（highly improbable）发生，将会比被告知该事件极极可能发生（very likely）获得更可能多的信息，
  
  • 又或者当我们确定（certain）该变量会发生，且事件确实发生时，我们获得的信息是零（从信息——意外的程度，的观点来看的话）

由以上的感性判断可知：

• 信息的度量与随机变量的概率分布（p(x)）有关，或者说取决于随机变量的概率分布（p(x)）
• 因此我们定义 h(x) 是 p(x) 的单调函数，
• 如果两事件 x 和 y 彼此无关，因此，可知 h(x,y)=h(x)+h(y)，二者无关时，由概率论的知识可知，p(x,y)=p(x)p(y)，

h(x)=−log2p(x)