BZOJ 3529 [Sdoi2014]数表 (莫比乌斯反演+树状数组+离线)

题目大意：有一张$n*m$的数表，第$i$行第$j$列的数是同时能整除$i,j$的所有数之和，求数表内所有不大于A的数之和

先是看错题了...接着看对题了发现不会做了...刚了大半个下午无果

看了Po姐的题解(Orzzz)才搞懂这道题，搞清楚了莫比乌斯反演的两种经典的卷积形式的不同之处

令$\sigma(i)$表示i的约数和

如果去掉A这个限制，则题目是让我们求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sigma(gcd(i,j))$

考虑如何正确转化式子，让我们能够把不大于A这个限制加上去，再用某种数据结构快速维护，否则我们转化的式子就是失败的

令$f(i)$表示$i$作为$gcd$出现的次数，利用莫比乌斯反演的常规套路，可得$f(i)=\sum_{i|d}\mu(d/i)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor$

这样，再接下来的变形中，可以把d提到前面去，我们就能对d的范围进行限制了

那么结果$ans=\sum f(i)\sigma(i)$

展开得$ans=\sum_{i=1}^{n} \sigma(i)\sum_{i|d}\mu(d/i)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor$

移项$ans=\sum _{d=1}^{\sigma(d)<=A} \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor \sum_{i|d}\mu(d/i)\sigma(i)$

对于前面的部分，对询问离线，按A从小到大排序，从小到大遍历即可$\sum _{d=1}^{\sigma(d)<=A} \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor$

对于后面的部分$\sum_{i|d}\mu(d/i)\sigma(i)$当前询问的A大于等于$\sigma(i)$时，我们就要把i的贡献加进去，即所有能整除$i$的数的位置都要加上$\mu(d/i)\sigma(i)$

因为$\sigma(i)$并不具有单调性，所以需要用树状数组维护前缀和，可以暴力往树状数组里插入，因为总插入次数是$O(nlnn)$(调和级数)

接着对于每个询问，利用整除分块的思想求解即可

总时间$O(nlog^{2}n+Q\sqrt{n}logn)$，有点卡常，建议用unsigned int

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define N 100100
 #define maxn 100000
 #define ll long long
 #define uint unsigned int
 using namespace std;

 const uint mod=2147483648ll;
 int T,cnt;
 int use[N],pr[N],mu[N],nxt[N];
 uint sum[N];
 ll sgm[N];
 struct node{ll s;int id;}a[N];
 int cmp1(node s1,node s2){return s1.s<s2.s;}
 struct Ques{int n,m,A,id;ll ans;}Q[N];
 int cmp2(Ques s1,Ques s2){return s1.A<s2.A;}
 int cmp3(Ques s1,Ques s2){return s1.id<s2.id;}

 void update(int x,uint w){for(int i=x;i<=maxn;i+=(i&(-i)))(sum[i]+=w)%=mod;}
 uint query(int x){uint ans=;for(int i=x;i>;i-=(i&(-i)))(ans+=sum[i])%=mod;return ans;}
 void Pre()
 {
     mu[]=;
     for(int i=;i<=maxn;i++)
     {
         if(!use[i]) pr[++cnt]=i,mu[i]=-,nxt[i]=i;
         for(int j=;j<=cnt&&i*pr[j]<=maxn;j++){
             use[i*pr[j]]=;
             nxt[i*pr[j]]=pr[j];
             if(i%pr[j]==){
                 mu[i*pr[j]]=;
                 break;
             }else{
                 mu[i*pr[j]]=-mu[i];
             }
         }
     }
     for(int i=;i<=maxn;i++)
         for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
             sgm[j]+=i;
     for(int i=;i<=maxn;i++)
         a[i].s=sgm[i],a[i].id=i;
     sort(a+,a+maxn+,cmp1);
 }

 int main()
 {
     //freopen("t1.in","r",stdin);
     scanf("%d",&T);
     Pre();
     int x,y,z;
     for(int t=;t<=T;t++)
     {
         scanf("%d%d%d",&Q[t].n,&Q[t].m,&Q[t].A);
         Q[t].id=t;
     }
     sort(Q+,Q+T+,cmp2);
     int k=;
     for(int t=;t<=T;t++)
     {
         while(k<=maxn&&a[k].s<=Q[t].A){
             int i=a[k].id;
             for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
                 update(j,sgm[i]*mu[j/i]%mod);
             k++;}
         if(Q[t].n>Q[t].m) swap(Q[t].n,Q[t].m);
         int n=Q[t].n,m=Q[t].m;ll ans=;
         for(int j=,la;j<=n;j=la+){
             la=min(n/(n/j),m/(m/j));
             (ans+=1ll*(n/j)*(m/j)%mod*(query(la)-query(j-))%mod)%=mod;
         }Q[t].ans=(1ll*ans%mod+mod)%mod;
     }
     sort(Q+,Q+T+,cmp3);
     for(int t=;t<=T;t++)
         printf("%lld\n",Q[t].ans);
     return ;
 }