HDU 5044 Tree LCA

题意：

给出一棵\(n(1 \leq n \leq 10^5)\)个节点的树，每条边和每个点都有一个权值，初始所有权值为0。

有两种操作：

• \(ADD1 \, u \, v \, k\)：将路径\(u \to v\)上所有节点的权值都加上\(k\)
• \(ADD2 \, u \, v \, k\)：将路径\(u \to v\)上所有边的权值都加上\(k\)

最后输出每个点和边的权值。

分析：

看到树上成段更新，第一反应就是树链剖分，然而这样的算法并不能通过这道题目的数据。

注意到这道题的特殊之处在于多次操作但只有一次查询。

考虑序列上的这样一个问题：

• 有一个序列\(A\)和有若干次操作，每次让区间\([l,r]\)的元素加上一个值\(k\)，最后输出每个元素最终的权值。
  
  维护一个序列\(B\)，使得序列\(A\)是序列\(B\)的前缀和。
  
  因此，如果将\(B_l\)的权值增加\(k\)，那么相当于将\(A_l \sim A_n\)的权值增加\(k\)。
  
  再将\(B_{r+1}\)的权值减去\(k\)，相当于将\(A_{r+1} \sim A_n\)的权值减去\(k\)。
  
  最终的效果就是将\(A_l \sim A_r\)的权值增加的\(k\)，其他位置权值不变。

所以，这样就在\(O(1)\)的时间完成了成段更新。

回到本题上来：受上面思路的启发，我们也可以在某些个点处修改，最后从叶子节点到根节点求一个前缀和得到最终答案。

具体来说就是：

• 对于点权值的修改：\(B_u, \, B_v\)的权值增加\(k\)，\(B_{lca}, \, B_{fa(lca)}\)的权值减少\(k\)
• 对于边权值的修改：\(B_u, \, B_v\)的权值增加\(k\)，\(B_{lca}\)的权值减少\(2k\)
  
  其中\(lca\)为\(u,v\)的最近公共祖先。

最后还有一个需要注意的地方就是\(n=1\)的情况，输出边权值只需要输出一个空行即可。

也许有更巧妙的写法可以避免这个问题。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 100000 + 10;

struct Edge
{
    int v, nxt;
	Edge() {}
	Edge(int v, int nxt): v(v), nxt(nxt) {}
};

int ecnt, head[maxn];
Edge edges[maxn * 2];

void AddEdge(int u, int v) {
    edges[ecnt] = Edge(v, head[u]);
    head[u] = ecnt++;
}

int n, m;
int u[maxn],v[maxn];
int fa[maxn], dep[maxn];

LL sum1[maxn], sum2[maxn];

void dfs(int u) {
    for(int i = head[u]; ~i; i = edges[i].nxt) {
        int v = edges[i].v;
        if(v == fa[u]) continue;
        fa[v] = u;
        dep[v] = dep[u] + 1;
        dfs(v);
    }
}

int anc[maxn][20];

void preprocess() {
    memset(anc, 0, sizeof(anc));
    for(int i = 1; i <= n; i++) anc[i][0] = fa[i];
    for(int j = 1; (1 << j) < n; j++)
        for(int i = 1; i <= n; i++) if(anc[i][j-1])
            anc[i][j] = anc[anc[i][j-1]][j-1];
}

int LCA(int u, int v) {
    if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    int log;
    for(log = 0; (1 << log) < dep[u]; log++);
    for(int i = log; i >= 0; i--)
        if(dep[u] - (1<<i) >= dep[v])
            u = anc[u][i];
    if(u == v) return u;
    for(int i = log; i >= 0; i--)
        if(anc[u][i] && anc[u][i] != anc[v][i])
            u = anc[u][i], v = anc[v][i];
    return fa[u];
}

void dfs2(int u) {
    for(int i = head[u]; ~i; i = edges[i].nxt) {
        int v = edges[i].v;
        if(v == fa[u]) continue;
        dfs2(v);
        sum1[u] += sum1[v];
        sum2[u] += sum2[v];
    }
}

int main()
{
    int T; scanf("%d", &T);
    for(int kase = 1; kase <= T; kase++) {
        scanf("%d%d", &n, &m);

        ecnt = 0;
		memset(fa, 0, sizeof(fa));
		memset(dep, 0, sizeof(dep));
        memset(head, -1, sizeof(head));
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            scanf("%d%d", u + i, v + i);
            AddEdge(u[i], v[i]);
            AddEdge(v[i], u[i]);
        }
        dfs(1);
        preprocess();

        memset(sum1, 0, sizeof(sum1));
        memset(sum2, 0, sizeof(sum2));
        while(m--) {
            char op[10]; int a, b, k;
            scanf("%s", op);
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &k);
            int lca = LCA(a, b);
            if(op[3] == '1') {
                sum1[a] += k;
                sum1[b] += k;
                sum1[lca] -= k;
                if(lca != 1) sum1[fa[lca]] -= k;
            } else {
                sum2[a] += k;
                sum2[b] += k;
                sum2[lca] -= k * 2;
            }
        }

        dfs2(1);
        for(int i = 1; i < n; i++)
            if(dep[u[i]] < dep[v[i]])
                swap(u[i], v[i]);

        printf("Case #%d:\n", kase);
        for(int i = 1; i < n; i++) printf("%lld ", sum1[i]);
        printf("%lld\n", sum1[n]);
		if(n == 1) { puts(""); continue; }
        for(int i = 1; i < n - 1; i++)
            printf("%lld ", sum2[u[i]]);
        printf("%lld\n", sum2[u[n-1]]);
    }

    return 0;
}