BZOJ 3251 树上三角形：LCA【构成三角形的结论】

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3251

题意：

　　给你一棵树，n个节点，每个点的权值为w[i]。

　　接下来有m个形如(p,a,b)的操作：

　　　　（1）p == 0:

　　　　　　问你在从a到b的路径上，有没有三个点满足：它们的权值大小可以构成三角形。

　　　　　　如果有，输出'Y'，否则输出'N'。

　　　　（2）p == 1:

　　　　　　将点a的权值w[a]改为b。

题解：

　　首先考虑一个结论：

　　　　因为构成三角形的充要条件是：对于三个数a < b < c，满足a + b > c。

　　　　所以不能构成三角形的条件是：对于三个数a < b < c，满足a + b <= c。

　　　　所以对于一个升序数列a[i]，让a[i]的增加速度最小，则类似于斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13...

　　　　又因为点权范围为[1,2^31-1]，所以一个不能构成三角形的数列，最多有大约45个数字。

　　　　即：对于数字个数 >= 50的数列，必定有三个数能构成三角形。

　　

　　所以先找出(a,b)的最近公共祖先act，然后顺着路径最多取50个数。

　　然后sort一遍取出的数t[i]，扫一遍有没有t[i-2]+t[i-1]>t[i]。

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #define MAX_N 100005
 #define MAX_K 20

 using namespace std;

 int n,m;
 int w[MAX_N];
 int t[MAX_N];
 int dep[MAX_N];
 int par[MAX_K][MAX_N];
 vector<int> edge[MAX_N];

 void read()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%d",&w[i]);
     }
     int a,b;
     for(int i=;i<n-;i++)
     {
         scanf("%d%d",&a,&b);
         edge[a].push_back(b);
     }
 }

 void dfs(int now,int p,int d)
 {
     dep[now]=d;
     par[][now]=p;
     for(int i=;i<edge[now].size();i++)
     {
         int temp=edge[now][i];
         if(temp!=p) dfs(temp,now,d+);
     }
 }

 void init_lca(int root)
 {
     dfs(root,-,);
     for(int k=;k+<MAX_K;k++)
     {
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(par[k][i]==-) par[k+][i]=-;
             else par[k+][i]=par[k][par[k][i]];
         }
     }
 }

 int lca(int a,int b)
 {
     if(dep[a]>dep[b]) swap(a,b);
     for(int k=;k<MAX_N && dep[a]!=dep[b];k++)
     {
         if(((dep[b]-dep[a])>>k)&)
         {
             b=par[k][b];
         }
     }
     if(a==b) return a;
     for(int k=MAX_K-;k>=;k--)
     {
         if(par[k][a]!=par[k][b])
         {
             a=par[k][a];
             b=par[k][b];
         }
     }
     return par[][a];
 }

 bool check(int a,int b,int act)
 {
     int cnt=;
     t[cnt++]=w[act];
     int now=a;
     while(now!=act)
     {
         t[cnt++]=w[now];
         now=par[][now];
         if(cnt>) break;
     }
     now=b;
     while(now!=act)
     {
         t[cnt++]=w[now];
         now=par[][now];
         if(cnt>) break;
     }
     sort(t,t+cnt);
     for(int i=;i<cnt;i++)
     {
         if((long long)t[i-]+t[i-]>t[i]) return true;
     }
     return false;
 }

 void work()
 {
     init_lca();
     int p,a,b;
     for(int i=;i<m;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",&p,&a,&b);
         if(p==)
         {
             int act=lca(a,b);
             if(check(a,b,act)) printf("Y\n");
             else printf("N\n");
         }
         else w[a]=b;
     }
 }

 int main()
 {
     read();
     work();
 }