【费用流】loj#545. 「LibreOJ β Round #7」小埋与游乐场

好像现在看来这个缩点的思路挺清晰啊

题目描述

有两个非负整数组成的可重集合 $A$ 和 $B$。

现在你可以对 $A$ 中至多 $k$ 个元素进行操作。操作方法为：设你准备操作且未被操作过的 $A$ 中的元素是 $a$，你可以在 $B$ 中选取任意一个元素 $b$，将 $a$ 修改为 $a\oplus b$（这里 $\oplus$ 表示二进制按位异或），然后从 $B$ 中删去 $b$。

最终，你要使 $A$ 中所有元素的 $\mathrm{lowbit}$ 之和最小。正整数的 $\mathrm{lowbit}$ 定义为其二进制最低非零位的值，$0$ 的 $\mathrm{lowbit}$ 规定为 $0$，例如 $\mathrm{lowbit}(0)=0,\mathrm{lowbit}(1)=1,\mathrm{lowbit}(24)=8$。形式化地有：

$\mathrm{lowbit}(x)= \begin{cases} \max(\{2^k:k\in \mathbb{N},2^k|x\}) & x\in \mathbb{N}^+\\ 0 & x=0 \end{cases}$

（其中 $|$ 表示整除）

你需要求出操作后 $A$ 中所有元素的 $\mathrm{lowbit}$ 之和的可能的最小值。

输入格式

第一行一个整数 $n$ 表示 $A$ 的元素个数。
接下来一行 $n$ 个整数 $\{a_i\}$ 表示 $A$ 中元素。
接下来一行一个整数 $m$ 表示 $B$ 的元素个数。
接下来一行 $m$ 个整数 $\{b_i\}$ 表示 $B$ 中元素。
接下来一行一个整数 $k$。

输出格式

输出一行一个整数 $S$ 表示操作后 $A$ 中所有元素的 $\mathrm{lowbit}$ 之和的可能的最小值。

数据范围

对于所有数据，$1\le n,m,k\le 1.2\times 10^6,0\le a_i,b_i\le 10^9$

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题目分析

注意到只有两种类型操作是有效的：

1. $lowbit(a_i) > lowbit(b_i)$
2. $a_i=b_i$

那么对于$lowbit$相同的点，实际上可以作为等价类考虑。首先预处理出$cnt_{a/b}$表示${{a/b}_i}$中的具有相同lowbit的数目；$cnt_c$表示$a_i$与$b_i$的具有相同lowbit的交。

连边则是在$a_i$和$b_j(j  < i)$间连$(INF,2^{i-1}-2^{j-1})$的边；在$a_i$和$b_i$之间连$(cnt_{ci},2^{i-1})$的边；$S$向$a_i$连$(cnt_{ai},0)$的边；$b_i$向$T'$连$(cnt_{bi},0)$的边；最后$T'$向$T$连$(k,0)$的边限制流量。

由于所求的是最小值，那么对于这张图应该跑最大费用可行流。写的时候没带脑子地直接写了个最大费用最大流。

 #include<bits/stdc++.h>
 typedef long long ll;
 const int maxn = ;
 const int maxm = ;
 const int maxNode = ;
 const ll INF = 2e9;

 struct Edge
 {
     int u,v,f,c,dis;
     Edge(int a=, int b=, int c=, int d=, int e=):u(a),v(b),f(c),c(d),dis(e) {}
 }edges[maxm];
 int n,m,K,S,T,befT;
 int edgeTot,head[maxNode],nxt[maxm],bck[maxNode],flw[maxNode];
 int a[maxn],b[maxn],cnta[],cntb[],cntc[];
 bool inq[maxNode];
 ll ans,dis[maxNode];

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = , fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch=getchar())
         if (ch=='-') fl = -;
     for (; isdigit(ch); ch=getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     return num*fl;
 }
 int lowbit(int x)
 {
     if (!x) return ;
     return log2(x&-x)+;
 }
 void addedge(int u, int v, int c, int dis)
 {
     edges[edgeTot] = Edge(u, v, , c,  dis), nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot, ++edgeTot;
     edges[edgeTot] = Edge(v, u, , , -dis), nxt[edgeTot] = head[v], head[v] = edgeTot, ++edgeTot;
 }
 void maxFlow()
 {
     for (;;)
     {
         std::queue<int> q;
         memset(flw, , sizeof flw);
         memset(bck, , sizeof bck);
         memset(dis, -0x3f3f3f3f, sizeof dis);
         q.push(S), flw[S] = INF, dis[S] = ;
         for (int tmp; q.size(); )
         {
             tmp = q.front(), q.pop(), inq[tmp] = ;
             for (int i=head[tmp]; i!=-; i=nxt[i])
             {
                 int v = edges[i].v;
                 if (dis[tmp]+edges[i].dis > dis[v]&&edges[i].f < edges[i].c){
                     bck[v] = i, dis[v] = dis[tmp]+edges[i].dis;
                     flw[v] = std::min(flw[tmp], edges[i].c-edges[i].f);
                     if (!inq[v]) inq[v] = , q.push(v);
                 }
             }
         }
         if (dis[T] < ) return;
         for (int i=T; i!=S; i=edges[bck[i]].u)
             edges[bck[i]].f += flw[T], edges[bck[i]^].f -= flw[T];
         ans -= dis[T]*flw[T];
     }
 }
 int main()
 {
     memset(head, -, sizeof head);
     n = read();
     for (int i=, val; i<=n; i++)
         a[i] = read(), val = lowbit(a[i]), ++cnta[val], ans += val?(1ll<<(val-)):;
     m = read();
     for (int i=; i<=m; i++)
         b[i] = read(), ++cntb[lowbit(b[i])];
     std::sort(a+, a+n+);
     std::sort(b+, b+m+);
     for (int i=, j=, p=, q=; i<=n; i=j+)
     {
         for (j = i; j!=n&&a[j]==a[j+]; ++j);
         for (; p < m&&b[p] < a[i]; ++p);
         for (q = p; p <= m&&b[p]==a[i]; ++p);
         cntc[lowbit(a[i])] += std::min(j-i+, p-q);
     }
     K = read(), S = *+, T = S+, befT = T+;
     addedge(befT, T, K, );
     for (int i=; i<=; i++)
     {
         addedge(S, i, cnta[i], );
         addedge(i+, befT, cntb[i], );
         addedge(i, i+, cntc[i], <<(i-));
         for (int j=; j<i; j++)
             addedge(i, j+, INF, (<<(i-))-(<<(j-)));
     }
     maxFlow();
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

END