NOIP2010普及组 导弹拦截

导弹拦截

OJ地址：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1158

http://codevs.cn/problem/1128/

 

题目描述 Description

经过11 年的韬光养晦，某国研发出了一种新的导弹拦截系统，凡是与它的距离不超过其工作半径的导弹都能够被它成功拦截。当工作半径为0 时，则能够拦截与它位置恰好相同的导弹。但该导弹拦截系统也存在这样的缺陷：每套系统每天只能设定一次工作半径。而当天的使用代价，就是所有系统工作半径的平方和。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统尚处于试验阶段，所以只有两套系统投入工作。如果现在的要求是拦截所有的导弹，请计算这一天的最小使用代价。

数据范围
对于10%的数据，N = 1
对于20%的数据，1 ≤ N ≤ 2
对于40%的数据，1 ≤ N ≤ 100
对于70%的数据，1 ≤ N ≤ 1000
对于100%的数据，1 ≤ N ≤ 100000，且所有坐标分量的绝对值都不超过1000。

输入描述 Input Description

第一行包含4 个整数x1、y1、x2、y2，每两个整数之间用一个空格隔开，表示这两套导弹拦截系统的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)。
第二行包含1 个整数N，表示有N 颗导弹。接下来N 行，每行两个整数x、y，中间用一个空格隔开，表示一颗导弹的坐标(x, y)。不同导弹的坐标可能相同。

输出描述 Output Description

输出只有一行，包含一个整数，即当天的最小使用代价。

样例输入 Sample Input

0 0 10 0
2
-3 3
10 0

样例输出 Sample Output

18

数据范围及提示 Data Size & Hint

两个点(x1, y1)、(x2, y2)之间距离的平方是(x1− x2)^2+(y1−y2)^2。
两套系统工作半径r1、r2 的平方和，是指r1、r2 分别取平方后再求和，即r1^2+r2^2。

【样例说明】

样例1中要拦截所有导弹，在满足最小使用代价的前提下，两套系统工作半径的平方分别为18和0。

算法分析

参考

https://blog.csdn.net/yuyanggo/article/details/48739029

http://hzwer.com/44.html

假设两个导弹系统为p1、p2，那么我们可以通过枚举两个导弹系统的半径，寻找最小值消耗值。

导弹系统的半径必然是系统所在位置与某一导弹的连线，基于此，p1的可能半径就只有n种，现在的问题就是枚举p1的半径之后，如何得到p2的半径呢？

我们把所有的导弹按其坐标点到p1的距离从大到小进行排序，若选择 k 号点到p1的距离作为半径，那么k点之后的点都能被p1击落。而k点之前的点p1是无法拦截的，只能由p2击落，于是，p2的半径即为前 k-1个点到 p2 的最大半径。
这道题有一个难点：如何寻找“前 k-1个点到 p2 的最大半径”。若是每当确定k点位置后，再来一次循环去寻找前k-1个点到p2的最大距离，那么整个算法的时间复杂度将会达到N^2级别，提交OJ时会超时。如何解决呢？

其实，上述算法描述中已经隐约暗示了解决方式。上述算法描述中，为何非要从距离p1最远的那个点开始枚举k呢？从距离p1最远的点开始枚举，一开始的时候p1负责拦截所有导弹，p2是不拦截任何导弹的，也就是p2的工作半径是0.然后随着枚举的继续，k每次挪动一个位置，p2拦截的导弹也会增多一枚。仅仅增多一枚导弹，很容易判断出新状态下p2拦截区域的最大工作半径。所以，必须要让p2一开始是不拦截任何导弹，然后p2拦截的导弹数量逐渐增加。

 #include<stdio.h>
 #include<stdlib.h>
 struct obj
 {
     int d1,d2; //d1和d2分别表示某一个导弹距离p1和p2的距离的平方
 };
 int cmp(const void *a,const void *b)//按照D[i].d1从大到小排序
 {
     struct obj *x,*y;
     x=(struct obj*)a;
     y=(struct obj*)b;
     return y->d1 - x->d1;
 }
 int main(int argc, char *argv[])
 {
     int x1,y1,x2,y2,x,y,N;
     struct obj D[];//存储所有的导弹
     int i,j;
     int r1,r2,cost,minCost=-;

     scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
     scanf("%d",&N);
     for(i=;i<N;i++)
     {
         scanf("%d%d",&x,&y);
         D[i].d1=(x-x1)*(x-x1)+(y-y1)*(y-y1);
         D[i].d2=(x-x2)*(x-x2)+(y-y2)*(y-y2);
     }

     qsort(D,N,sizeof(D[]),cmp);//按照D[i].d1从大到小排序
     /*for(i=0;i<N;i++)
         printf("%d %d\n",D[i].d1,D[i].d2);*/

     //第一种极限情况：所有导弹均由p1系统拦截
     r2=;
     r1=D[].d1;
     minCost=r1+r2;

     r2=D[].d2;
     for(i=;i<N;i++)//从D[0]~D[i-1]由p2拦截，D[i]~D[n-1]由p1拦截
     {
         r1=D[i].d1;
         if(r2<D[i-].d2) r2=D[i-].d2;
         cost=r1+r2;
         if(cost<minCost) minCost=cost;
     }

     //第二种极限情况：所有导弹均由p2拦截
     r1=;
     if(r2<D[N-].d2) r2=D[N-].d2;
     cost=r1+r2;
     if(cost<minCost) minCost=cost;

     printf("%d\n",minCost);
     return ;
 }

下面这个代码比较简洁，可以参考一下。

设拦截系统为 a ， b

按照导弹到其中一个拦截系统 a 的距离排序，将离 a 最近的 i 个导弹都交给 a ，其余给 b

倒序枚举断点，每次更新答案

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 #define inf 1000000000
 #define ll long long

 struct data
 {
     int x,y,s1,s2;
 }a[];

 int n,x1,y1,x2,y2;
 int mn=inf;

 bool cmp(data a,data b)//结构体比较函数，可以理解为定义小于号,即a.s1<b.s1时return 1 否则return 0
 {
     return a.s1<b.s1;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
         a[i].s1=(a[i].x-x1)*(a[i].x-x1)+(a[i].y-y1)*(a[i].y-y1);//计算距离。注意：这里没有开平方
         a[i].s2=(a[i].x-x2)*(a[i].x-x2)+(a[i].y-y2)*(a[i].y-y2);
     }
     sort(a+,a+n+,cmp);//对a[1]~a[n]进行排序，按照a[i].s1升序排序 

     int rb=;
     a[n+].s2=;
     for(int i=n;i>;i--)//从离a最远的导弹开始枚举
     {
         rb=max(a[i+].s2,rb);//将i+1号导弹交给系统b，更新系统b的半径
         mn=min(mn,a[i].s1+rb);//更新答案
     }

     //一种极限情况
     rb=max(a[].s2,rb);//将所有导弹交给系统b，更新系统b的半径
     mn=min(mn,+rb);//更新答案

     printf("%d",mn);
     return ;
 }