[SDOI2010] 外星千足虫

Description

公元2089年6月4日，在经历了17年零3个月的漫长旅行后，“格纳格鲁一号”载人火箭返回舱终于安全着陆。此枚火箭由美国国家航空航天局（NASA）研制发射，行经火星、金星、土卫六、木卫二、谷神星、“张衡星”等23颗太阳系星球，并最终在小行星“杰森星”探寻到了地外生命。宇航员在“杰森星”地表岩层下45.70米位置发现一批珍贵的活体生命样本，并将其带回检测。在带回的活体样本中，最吸引人的当属这些来自外星的千足虫了。这些虫子身躯纤长，身体分为若干节。受到触碰时，会将身体卷曲成圆环形，间隔一段时间后才会复原活动。

有趣的还不止如此。研究人员发现，这些虫子的足并不像地球千足虫成对出现、总共偶数条——它们每节身体下方都有着不定数量的足，但足的总数一定是奇数条！虽然从外观难以区分二者，但通过统计足的数目，科学家们就能根据奇偶性判断出千足虫所属的星球。

作为J国派去NASA的秘密间谍，你希望参加这次研究活动以掌握进一步的情报，而NASA选拔的研究人员都是最优秀的科学家。于是NASA局长Charles Bolden出了一道难题来检测你的实力：

现在你面前摆有1…N编号的N只千足虫，你的任务是鉴定每只虫子所属的星球，但不允许亲自去数它们的足。Charles每次会在这N只千足虫中选定若干只放入“昆虫点足机”（the Insect Feet Counter, IFC）中，“点足机”会自动统计出其内所有昆虫足数之和。Charles会将这个和数mod 2的结果反馈给你，同时告诉你一开始放入机器中的是哪几只虫子。他的这种统计操作总共进行M次，而你应当尽早得出鉴定结果。

假如在第K次统计结束后，现有数据就足以确定每只虫子的身份，你就还应将这个K反馈给Charles，此时若K＜M，则表明那后M－K次统计并非必须的。

如果根据所有M次统计数据还是无法确定每只虫子身份，你也要跟Charles讲明：就目前数据会存在多个解。

Input

第一行是两个正整数N, M。

接下来M行，按顺序给出Charles这M次使用“点足机”的统计结果。每行包含一个“01”串和一个数字，用一个空格隔开。“01”串按位依次表示每只虫子是否被放入机器：如果第i个字符是“0”则代表编号为i的虫子未被放入，“1”则代表已被放入。后面跟的数字是统计的昆虫足数mod 2的结果。

由于NASA的实验机器精确无误，保证前后数据不会自相矛盾。即给定数据一定有解。

Output

在给定数据存在唯一解时有N＋1行，第一行输出一个不超过M的正整数K，表明在第K次统计结束后就可以确定唯一解；接下来N行依次回答每只千足虫的身份，若是奇数条足则输出“?y7M#”（火星文），偶数条足输出“Earth”。如果输入数据存在多解，输出“Cannot Determine”。

所有输出均不含引号，输出时请注意大小写。

Hint

对于20%的数据，满足N＝M≤20；

对于40%的数据，满足N＝M≤500；

对于70%的数据，满足N≤500，M≤1,000；

对于100%的数据，满足N≤1,000，M≤2,000。

Solution

显然要高斯消元解异或方程组。

这题 \(N\) 有点大，可以用 \(bitset\) 优化。

最开始想的是二分找这个满足要求的最小的 \(K\)，无奈复杂度过不去。

考虑高斯消元的过程，假设当前在消第 \(i\) 列，第 \(j\) 行，那么一定是从第 \(j\) 行向下找一个最小的 \(p\) ，满足 \(a[p][i]=1\)。这里的最小的就已经满足题目要求了，不必要在二分了。也就是说，每次 \(swap\) 时取一个 \(\max\) 即可。

其他就跟高斯消元一模一样了。

Code

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<bitset>
#define N 1005
#define M 2005
#define bi std::bitset<N>
#define max(A,B) ((A)>(B)?(A):(B))

int n,m;
bi a[M];

int getint(){
	int x=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}

void swap(bi &x,bi &y){bi t=x;x=y;y=t;}

signed main(){
	n=getint(),m=getint();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%1d",&x);
			a[i][j]=x;
		}
		x=getint();a[i][n+1]=x;
	}
	int now,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		now=i;
		while(now<=m and !a[now][i])
			now++;
		if(now==m+1){
			printf("Cannot Determine");
			return 0;
		}
		ans=max(ans,now);
		if(now!=i)
			swap(a[now],a[i]);
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(j==i)
				continue;
			if(!a[j][i])
				continue;
			a[j]^=a[i];
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i][n+1])
			printf("?y7M#\n");
		else
			printf("Earth\n");
	}
	return 0;
}