polya计数定理在ACM-icpc中的应用

【数学公式】

P_G(x₁,x₂,...,x_n) = 1/|G| * ∑_π∈G x₁^b₁ * x₂^b₂*...*b_n^b_n   其中π是1^b₁2^b₂...n^b_n型轮换

然后一般染色情况下x1=x2=...=xn = m

于是就有了ans = 1/|G|*∑_π∈Gm^c(π) 其中c(π)是置换π的轮换（也叫循环节）个数。

【算法应用】

对于算法题来说，问题的关键是计算c(π)这个函数。

一种方法是模拟构造每一个置换，然后用函数计算对应的轮换个数。

还有一种方法就是找规律，用套路，然后直接计算。

【题型】

1.项链(n次二面体)

　   1/|G|∑(phi(L) * M^(N/L) )   O(√n)枚举长度L

　  1/|G|∑(M^gcd(i,n))  O(n)枚举置换标号i

　　上面都是不可翻转的，可翻转的分奇偶讨论一下。

2.正八面体点着色

　　置换群元素24个。

　　m着色总数为 (m^8+17m^4+6m^2)/24

3.正四面体点着色

　　置换群元素12个

　　m着色总数为(m^4+11m^2)/12