【CF438E】小朋友和二叉树解题报告

【CF438E】小朋友和二叉树

Description

我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。

考虑一个含有$n$个互异正整数的序列$c_1,c_2,\dots,c_n$。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合$\{c_1,c_2,\dots,c_n\}$中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。

给出一个整数$m$，你能对于任意的$s(1≤s≤m)$计算出权值为$s$的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。

我们只需要知道答案关于$998244353$取模后的值。

Input

第一行有$2$个整数 $n,m(1≤n≤10^5,1≤m≤10^5)$.

第二行有$n$个用空格隔开的互异的整数 $c_1,c_2,…,c_n(1≤c[i]≤10^5)$.

Output

输出$m$行，每行有一个整数。第$i$行应当含有权值恰为$i$的神犇二叉树的总数。请输出答案关于$998244353$取模后的结果。

考虑$DP$，设$f_i$代表权值为$i$的二叉树的个数,$C_i$代表是否存在权值为$i$的节点

\[f_n=\sum_{i=1}^nC_i\sum_{j=0}^{n-i}f_jf_{n-i-j}
\]

\[f_0=1
\]

然后我们发现长得很像卷积，但是没法好好卷自己。

于是构造一波生成函数，直接表示为系数就行了

\[F=C*F*F+1
\]

关于这个$+1$，我的理解是，加了一个常数项为$1$的多项式表示$f_0=1$

然后解一下二次方程，得到

\[F=\frac{1 \pm \sqrt{1-4C}}{2C}
\]

然后讨论一下发现需要取+

再次化简

\[F=\frac{2}{1+\sqrt{1-4C}}
\]

套用多项式求逆+开根就可以了

Code:

#include <cstdio>

#include <cctype>

#include <algorithm>

const int N=(1<<20)+10;

const int mod=998244353,Gi=332748118,i2=499122177;

int read()

{

    int x=0;char c=getchar();

    while(!isdigit(c)) c=getchar();

    while(isdigit(c)) {x=x*10+c-'0';c=getchar();}

    return x;

}

#define add(x,y) ((x+y)%mod)

#define mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)

int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}

int C[N],sq[2][N],b[2][N],A[N],B[N],turn[N];

void NTT(int *a,int len,int typ)

{

    for(int i=1;i<len;i++) if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);

    for(int le=1;le<len;le<<=1)

    {

        int wn=qp(typ?3:Gi,(mod-1)/(le<<1));

        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)

        {

            int w=1;

            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))

            {

                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);

                a[i]=add(tx,ty);

                a[i+le]=add(tx,mod-ty);

            }

        }

    }

    if(!typ)

    {

        int inv=qp(len,mod-2);

        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);

    }

}

void polymul(int *a,int *b,int len)

{

    int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1) ++L;

    for(int i=0;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L,A[i]=B[i]=0;

    for(int i=0;i<len>>1;i++) A[i]=a[i],B[i]=b[i];

    NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);

    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=mul(A[i],B[i]);

    NTT(A,len,0);

    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i];

}

void polyinv(int *a,int n)

{

    int len=2,cur=0;

    b[cur][0]=qp(a[0],mod-2);

    while(len<=(n<<2))

    {

        cur^=1;

        for(int i=0;i<len>>1;i++) b[cur][i]=add(b[cur^1][i],b[cur^1][i]);

        polymul(b[cur^1],b[cur^1],len);

        polymul(b[cur^1],a,len);

        for(int i=0;i<len;i++) b[cur][i]=add(b[cur][i],mod-b[cur^1][i]);

        len<<=1;

    }

    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=b[cur][i];

}

void polysqrt(int *a,int n)

{

    int len=2,cur=0;

    sq[cur][0]=1;

    while(len<=(n<<2))

    {

        cur^=1;

        for(int i=0;i<len>>1;i++) sq[cur][i]=mul(sq[cur^1][i],i2);

        for(int i=0;i<len>>1;i++) sq[cur^1][i]=add(sq[cur^1][i],sq[cur^1][i]);

        polyinv(sq[cur^1],len);

        polymul(sq[cur^1],a,len);

        for(int i=0;i<len;i++) sq[cur][i]=add(sq[cur][i],sq[cur^1][i]);

        len<<=1;

    }

    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=sq[cur][i];

}

int main()

{

    int n=read(),m=read();

    for(int i=1;i<=n;i++) C[read()]=1;

    ++m;C[0]=1;

    for(int i=1;i<m;i++) C[i]=(mod-(C[i]<<2))%mod;

    polysqrt(C,m);

    C[0]=add(C[0],1);

    polyinv(C,m);

    for(int i=0;i<m;i++) C[i]=add(C[i],C[i]);

    for(int i=1;i<m;i++) printf("%d\n",C[i]);

    return 0;

}

2018.12.17