SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析

非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型
    非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型

还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？

答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究：

第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？”

1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型

点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：

点击确定按钮，得到如下结果：

放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！

点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面

在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S"  两个模型，点击确定，得到如下结果：

 通过“二次”和“S  “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度 明显高于“二次”模型的拟合度 （0.912 >0.900）不过，几乎接近

  接着，我们采用S 模型，得到如下所示的结果：

结果分析：

1：从ANOVA表中可以看出：总体误差= 回归平方和 + 残差平方和 （共计：0.782） F统计量为（240.216）显著性SIG为（0.000）由于0.000<0.01 （所以具备显著性，方差齐性相等）

2：从“系数”表中可以看出：在未标准化的情况下，系数为（-0.986） 常数项为2.672

所以 S 型曲线的表达式为：Y（销售量）=e^(b0+b1/t) = e^(2.672-0.986/广告费用）

当数据通过标准化处理后，常数项被剔除了，所以标准化的S型表达式为：Y(销售量） = e^(-0.957/广告费用）

  下面，我们直接采用“非线性”模型来进行操作

第一步：确定“非线性模型”

 从绘图中可以看出：广告费用在1千万——4千多万的时候，销售量增加的跨度较大，当广告费用超过“4千多万"的时候，增加幅度较小，在达到6千多万”达到顶峰，之后呈现下降趋势。

从图形可以看出：它符合The asymptotic regression model (渐近回归模型)

 表达式为：Y(销售量）= b1 + b2*e∧b3*(广告费用）

当b1>0, b2<0, and b3<0,时，它符合效益递减规律，我们称之为：Mistcherlich's model  

 

第二步：确定各参数的初始值

1：b1参数值的确定，从表达式可以看出：随着”广告费用“的增加，销售量也会增加，最后达到一个峰值，由于：b2<0, b3<0 ，随着广告费用的增加：b2*e∧b3*(广告费用）会逐渐趋向于“0”  而此时 Y(销售量）将接近于 b1值，从上图可以看出：Y(销售量）的最大值为12点多，接近13，所以，我们设定b1的初始值为13

2：b2参数值确定：当Y(销售量）最小时，此时应该广告费用最小，基本等于“0”，可以得出：b1+b2= Y(销售量）此时Y销售量最小，从图中可以看出：第一个值为6.7左右，接近7这个值，所以：b2=7-13=-6

3: b3参数值确定：可以用图中两个分离点的斜率来确定b3的值，例如取（x1=2.29,y1=8.71) 和（ x2=5.75, y2=12.74) 通过公式 y2-y1/x2-x1=1.16，（此处可以去整数估计值来算b3的值）

确定参数初始值和参数范围的方法如下所示：

1：通过图形确定参数的取值范围，然后在这个范围里选择初始值。
2：根据非线性方程的数学特性进行某些变换后，再通过图形帮助判断初始值的范围。
3：先使用固定的数代替某些参数，以此来确定其它参数的取值范围。
4：通过变量转换，使用线性回归模型来估计参数的初始值

第三步：建立模型表达式和选择损失函数

点击“分析”—回归——非线性，进入如下所示界面：

如上图中，点击参数，分别添加b1,b2,b3进入参数框内，在模型表达式中输入：b1 + b2*Exp(b3*广告费用） （步骤为：选择“函数组”—算术——Exp函数），将“销售量”变量拖入“因变量”框内

“损失函数”默认选项为“残差平方和” 如果有特需要求，可以自行定义

点击“约束”进入如下所示的界面：

点击“继续”按钮，此时会弹出警告信息，提示用户是否接受建议, 建议内容为：将采用序列二次编程进行参数估计，点击确定，接受建议即可

参数的取值范围指在迭代过程中，将参数限制在有意义的范围区间内，提供两种对参数范围约束的方法：

1：线性约束，在约束表达式里只有对参数的线性运算
2：非线性约束，在约束表达式里，至少有一个参数与其它参数进行了乘，除运算，或者自身的幂运算

在“保存”选项中，勾选“预测值”和“残差”即可，点击继续

点击“选项”得到如下所示的界面：

此处的“估计方法”选择“序列二次编程”的方法， 此方法主要利用的是双重迭代法进行求解，每一步迭代都建立一个二次规划算法，以此确定优化的方向，把估计参数不断的带入损失函数进行求值运算，直到满足指定的收敛条件为止

点击继续，再点击“确定”得到如下所示的结果：

上图结果分析：

1：从“迭代历史记录”表中可以看出：迭代了17次后，迭代被终止，已经找到最优解

此方法是不断地将“参数估计值”代入”损失函数“求解， 而损失函数采用的是”残差平方和“最小，在迭代17次后，残差平方和达到最小值，最小值为（6.778）此时找到最优解，迭代终止

2：从参数估计值”表中可以看出：
b1= 12.904  （标准误为0.610，比较小，说明此估计值的置信度较高）  b2=-11.268  （标准误为：1.5881，有点大，说明此估计值的置信度不太高） b3=-0.496（标准误为：0.138，很小，说明此估计值的置信度很高）

非线性模型表达式为：Y(销售量）= 12.904-11.268*e^(-0.496*广告费用）

3：从“参数估计值的相关性”表中可以看出：b1 和 b3的相关性较强，b2和b1或b3的相关性都相对弱一些，其中b1和b2的相关性最弱

4：从anova表中可以看出：R方 = 1- （残差平方和）/（已更正的平方和） = 0.909， 拟合度为0.909，说明此模型能够解释90多的变异，拟合度已经很高了

前面已经提到过，S行曲线的拟合度更高，为（0.916）那到底哪个更合适呢？  如果您的数据样本容量够大，我想应该是“非线性模型”的拟合度会更高！

 其实想想，我们是否可以将“非线性”转换为“线性”后，再利用线性模型进行分析了？  后期有时间的话，将还是以本例为说明，如何将“非线性”转换为“线性”后进行分析！！