解题：NOI 2014 购票

题面

观察一下部分分，我们发现链上的部分分是这样一个DP：

$dp[i]=min(dp[i],dp[j]+dis(i,j)*p[i]+q[i])(dis(i,j)<=lim[i]\&\&j∈anc(i))$

对于可以对$i$转移的两个位置$j$和$k$，假设$dep[j]>dep[k]$且$j$比$k$优，那么倒腾一下式子

$dp[j]+dis(i,j)*p[i]+q[i]<dp[k]+dis(i,k)*p[i]+q[i]$

$dp[j]-dp[k]<(dis(i,k)-dis(i,j))*p[i]$

$\frac{dp[j]-dp[k]}{dis(i,k)-dis(i,j)}<p[i]$

因为$dis$是单调的，这个东西可以使用斜率优化，因为$p[i]$不单调每次需要二分来转移

然后问题来了，现在不是棵树，如果提出来每条链来做是O(叶子数*len)的，会被扫帚图卡掉，于是有了各种优化来做这道题：

Sol1：用轻重链剖分优化，直接以一个log的代价把整条链拼出来，再用一个log的数据结构维护，复杂度$O(n\log^3 n)$

Sol2：用可持久化数据结构维护单调队列或者用待撤销的二进制分组，利用上面一段已经处理好的链分别处理每个叶子，只需要一个log，复杂度$O(n\log^2 n)$

Sol3(我写的这个)：不用数据结构维护，用点分治的方法，每次把重心和它子树外的部分递归处理，然后DFS重心的子树，子树里的节点按向上延伸后的深度排序后DP，之后再处理每一棵子树。排序和DP的log是并列的，复杂度$O(n\log^2 n)$

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int N=,inf=1e9;
 int n,t,c,cnt,top,tpp,tsiz,maxx;
 int fth[N],p[N],noww[N],goal[N],siz[N],vis[N],stk[N],sta[N];
 long long len[N],val[N],dis[N],pr1[N],pr2[N],lim[N],dp[N],rd;
 bool cmp(int a,int b)
 {
     return dis[a]-lim[a]>dis[b]-lim[b];
 }
 double Slope(int a,int b)
 {
     return (double)(dp[b]-dp[a])/(double)(dis[b]-dis[a]);
 }
 void Link(int f,int t,long long v)
 {
     noww[++cnt]=p[f],p[f]=cnt;
     goal[cnt]=t,val[cnt]=v;
 }
 void Getdis(int nde)
 {
     for(int i=p[nde];i;i=noww[i])
         dis[goal[i]]=dis[nde]+val[i],Getdis(goal[i]);
 }
 void Mark(int nde,int sze)
 {
     siz[nde]=; int tmp=;
     for(int i=p[nde];i;i=noww[i])
         if(!vis[goal[i]])
         {
             Mark(goal[i],sze);
             siz[nde]+=siz[goal[i]];
             tmp=max(tmp,siz[goal[i]]);
         }
     tmp=max(tmp,sze-siz[nde]);
     if(tmp<=maxx) maxx=tmp,c=nde;
 }
 void DFS(int nde)
 {
     stk[++top]=nde;
     for(int i=p[nde];i;i=noww[i])
         if(!vis[goal[i]]) DFS(goal[i]);
 }
 void DP(int nde,int anc)
 {
     for(int i=;i<=top;i++)
     {
         int nod=stk[i];
         while(nde!=fth[anc]&&dis[nod]-dis[nde]<=lim[nod])
         {
             while(tpp>=&&Slope(sta[tpp],nde)>=Slope(sta[tpp-],sta[tpp]))
                 tpp--; sta[++tpp]=nde,nde=fth[nde];
         }
         if(tpp)
         {
             int l=,r=tpp,best;
             while(l<=r)
             {
                 int mid=(l+r)/;
                 double s=(mid==tpp)?-inf:Slope(sta[mid],sta[mid+]);
                 if(s<=pr1[nod]) r=mid-,best=mid; else l=mid+;
             }
             best=sta[best],dp[nod]=min(dp[nod],dp[best]+(dis[nod]-dis[best])*pr1[nod]+pr2[nod]);
         }
     }
 }
 void PDC(int nde,int sze)
 {
     if(sze<=) return;
     maxx=inf,Mark(nde,sze); int hc=c;
     for(int i=p[hc];i;i=noww[i])
         vis[goal[i]]=true,sze-=siz[goal[i]];
     PDC(nde,sze),top=;
     for(int i=p[hc];i;i=noww[i]) DFS(goal[i]);
     sort(stk+,stk++top,cmp),tpp=,DP(hc,nde);
     for(int i=p[hc];i;i=noww[i]) PDC(goal[i],siz[goal[i]]);
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&t);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%d%lld",&fth[i],&rd),Link(fth[i],i,rd);
         scanf("%lld%lld%lld",&pr1[i],&pr2[i],&lim[i]),dp[i]=1e18;
     }
     Getdis(),PDC(,n);
     for(int i=;i<=n;i++) printf("%lld\n",dp[i]);
     return ;
 }