最小圆覆盖

问题:给定平面上的一个点集,求半径最小的一个圆,使得点集中的点都在其内部或上面。

随机增量算法:

  定义:点集A的最小圆覆盖是Circle(A)

  定理:如果Circle(A)=C1,且a不被C1覆盖,那么a在Circle(AU{a})的边界上。

  证明:换一种找最小圆覆盖的思路,我们初始化一些圆,圆心为A中的点,半径为0,并且让半径慢慢变大,必定存在一个时刻,所有圆的交集由空变为非空,那个最开始的非空交集是一个点,并且就是我们最小圆覆盖的圆心位置。当A中的所有点代表的圆有交集时,点a代表的圆还没有到达那个点(否则点a就被C1覆盖掉了),我们让半径继续增大,必然会有一个时刻点a代表的圆与A代表的圆的公共区域相交,这个点就是AU{a}的最小圆覆盖的圆心,它到点a的距离就是半径。

  算法:

 c = ( p[] )
for i = to n
if p[i] in c then continue
c = ( p[i] )
for j = to i-
if p[j] in c then continue
c = ( p[i], p[j] )
for k = to j-
if p[k] in c then continue
c = ( p[i], p[j], p[k] )

  ((p[i],p[j])代表包含这两个点的最小的圆)

  第一层循环的循环不变量是:c是p[1],p[2],...,p[i-1]的最小圆覆盖。

  第二层循环的循环不变量是:c是p[1],p[2],...,p[j-1]和p[i]的最小圆覆盖。

  第一层循环的循环不变量是:c是p[1],p[2],...,p[k-1],p[i]和p[j]的最小圆覆盖。

  转移用上面的定理证明。

  有个性质:上面伪代码的第10行中的三个点不可能共线(只需分别证明三个点中的一个不会在另外两个代表的线段上就行了)。

 /**************************************************************
Problem: 1336
User: idy002
Language: C++
Result: Accepted
Time:372 ms
Memory:2372 kb
****************************************************************/ #include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define line(a,b) ((b)-(a))
#define N 100010
#define eps 1e-10
using namespace std; int sg( double x ) { return (x>-eps)-(x<eps); }
struct Vector {
double x, y;
Vector(){}
Vector( double x, double y ):x(x),y(y){}
Vector operator+( const Vector &b ) const { return Vector(x+b.x,y+b.y); }
Vector operator-( const Vector &b ) const { return Vector(x-b.x,y-b.y); }
Vector operator*( double b ) const { return Vector(x*b,y*b); }
Vector operator/( double b ) const { return Vector(x/b,y/b); }
double operator^( const Vector &b ) const { return x*b.y-y*b.x; }
double len() { return sqrt(x*x+y*y); }
Vector normal() { return Vector(-y,x); }
};
typedef Vector Point;
Point inter( Point P, Vector u, Point Q, Vector v ) {
return P+u*((line(P,Q)^v)/(u^v));
}
struct Circle {
Point o;
double r;
Circle(){}
Circle( Point &a ) {
o = a;
r = ;
}
Circle( Point &a, Point &b ) {
o = (a+b)/;
r = (a-b).len()/;
}
Circle( Point &a, Point &b, Point &c ) {
Point P=(a+b)/, Q=(b+c)/;
Vector u=(a-b).normal(), v=(b-c).normal();
o = inter(P,u,Q,v);
r = (a-o).len();
}
bool contain( Point &a ) {
return sg( line(a,o).len()-r ) <= ;
}
}; int n;
Point pts[N];
Circle cir; int main() {
scanf( "%d", &n );
for( int i=; i<=n; i++ ) {
double x, y;
scanf( "%lf%lf", &x, &y );
pts[i] = Point(x,y);
}
random_shuffle( pts+, pts++n );
cir = Circle(pts[]);
for( int i=; i<=n; i++ ) {
if( cir.contain(pts[i]) ) continue;
cir = Circle(pts[i]);
for( int j=; j<i; j++ ) {
if( cir.contain(pts[j]) ) continue;
cir = Circle(pts[i],pts[j]);
for( int k=; k<j; k++ ) {
if( cir.contain(pts[k]) ) continue;
cir = Circle(pts[i],pts[j],pts[k]);
}
}
}
printf( "%.10lf\n", cir.r );
printf( "%.10lf %.10lf\n", cir.o.x, cir.o.y );
}

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