23 October

[HAOI2010] 最长公共子序列

求S串与T串的 最长公共子序列 的 长度 及其 个数.

动态规划递推式：

\[f(i,j)=\max\left\{ f(i-1,j), f(i,j-1) \right\} \quad (S_i\neq T_j)
\]

\[f(i,j)=\max\left\{\text{ $^{(\varphi)}$ } f(i-1,j), f(i,j-1), \text{ $^{(\lambda)}$ } f(i-1,j-1)+1 \right\} \quad (S_i= T_j)
\]

\[g(i,j)= g(i-1,j) + g(i,j-1) - g(i-1, j-1) \quad \left(S_i\neq T_j\text{ and }f(i,j)=f(i-1,j-1)\ \right)
\]

\[g(i,j)= g(i-1,j) + g(i,j-1) + g(i-1, j-1) \quad \left(S_i= T_j\text{ and }(\lambda)\ \right)
\]

滚动数组压缩空间.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int mod=100000000;
char S[5003], T[5003];
int sl, tl;
int f[2][5003], g[2][5003];

int main() {
	scanf("%s", S+1);
	scanf("%s", T+1);
	sl=strlen(S+1)-1;
	tl=strlen(T+1)-1;
	for (register int i=0; i<=tl; ++i) g[0][i]=1;
	for (register int i=1; i<=sl; ++i) {
		g[i&1][0]=1;
		for (register int j=1; j<=tl; ++j) {
			g[i&1][j]=0;
			f[i&1][j]=std::max(f[i&1^1][j], f[i&1][j-1]);
			if (S[i]==T[j]) f[i&1][j]=std::max(f[i&1][j], f[i&1^1][j-1]+1);
			if (f[i&1][j]==f[i&1^1][j]) g[i&1][j]+=g[i&1^1][j];
			if (f[i&1][j]==f[i&1][j-1]) g[i&1][j]+=g[i&1][j-1];
			if (S[i]==T[j] && f[i&1][j]==f[i&1^1][j-1]+1) g[i&1][j]+=g[i&1^1][j-1];
			if (S[i]!=T[j] && f[i&1][j]==f[i&1^1][j-1]) g[i&1][j]-=g[i&1^1][j-1];
			g[i&1][j]=(g[i&1][j] + mod) % mod;
		}
	}
	printf("%d\n%d\n", f[sl&1][tl], g[sl&1][tl]);
	return 0;
}