[CF11D]A Simple Task 题解

题解

我们从最简单的思路开始考虑，首先看到题目发现\(n\)非常小，于是很容易想到状态压缩。

我们考虑比较直觉的状态，f[i][j][k]表示以i为起点，当前在j，之前去过的点状态为k的简单环的方案数。

仔细思考以后，我们发现这个状态有问题，问题在于，每一个环再环内的每个点都被计算了一次。

那么怎么避免这种状态呢？我们考虑让每个环仅由其中编号最小的点贡献。

这样操作了以后，每个环仍然被计算了两遍(顺时针一次，逆时针一次)，但是关系不大，最后统计答案的时候除2即可。

考虑到起点已经是环中最小的点了，于是我们无需再状态里额外记录它。

于是将状态变换成f[i][j]表示当前在i，之前去过的点状态为j的简单环的方案数。

那么状态之间如何转移呢？直接DP有些困难，于是我们使用记忆化搜索。

在记忆化搜索的时候要记录一个值表示当前去过几个点，因为显然数量在2即以下的点构不成简单环，但会被记搜记录答案，特判即可。

代码

#include <cstdio>

namespace fast_IO{
    const int IN_LEN = 10000000, OUT_LEN = 10000000;
    char ibuf[IN_LEN], obuf[OUT_LEN], *ih = ibuf + IN_LEN, *oh = obuf, *lastin = ibuf + IN_LEN, *lastout = obuf + OUT_LEN - 1;
    inline char getchar_(){return (ih == lastin) && (lastin = (ih = ibuf) + fread(ibuf, 1, IN_LEN, stdin), ih == lastin) ? EOF : *ih++;}
    inline void putchar_(const char x){if(oh == lastout) fwrite(obuf, 1, oh - obuf, stdout), oh = obuf; *oh ++= x;}
    inline void flush(){fwrite(obuf, 1, oh - obuf, stdout);}
    int read(){
        int x = 0; int zf = 1; char ch = ' ';
        while (ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar_();
        if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar_();
        while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar_(); return x * zf;
    }
    void write(long long x){
        if (x < 0) putchar_('-'), x = -x;
        if (x > 9) write(x / 10);
        putchar_(x % 10 + '0');
    }
}

using namespace fast_IO;

struct Edge{
	int to, next;
} edges[1005];

int head[20], edge_num = 0;

inline void addEdge(int from, int to){
	edges[++edge_num] = (Edge){to, head[from]};
	head[from] = edge_num;
}

long long f[20][1048577];
int vis[20];

long long DFS(int frt, int u, int sta, int cnt){
	vis[u] = 1;
	if (f[u][sta])
		return f[u][sta];
	for (int c_e = head[u]; c_e; c_e = edges[c_e].next){
		int v = edges[c_e].to;
		if ((1 << (v - 1)) & sta){
			if (cnt > 2 && v == frt)
				++f[u][sta];
		}
		else
			if (v > frt)
				f[u][sta] += DFS(frt, v, sta | (1 << (v - 1)), cnt + 1);
	}
	return f[u][sta];
}

int main(){
	int n = read(), m = read();
	for (int i = 0; i < m; ++i){
		int u = read(), v = read();
		addEdge(u, v), addEdge(v, u);
	}
	long long ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		ans += DFS(i, i, (1 << (i - 1)), 1);
	write(ans / 2); flush();
	return 0;
}