51nod 1020 逆序排列 DP

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。

1-n的全排列中，逆序数最小为0（正序），最大为n*(n-1) / 2（倒序）

给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？

例如：n = 4 k = 3。

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个，分别是：

1 4 3 2

2 3 4 1

2 4 1 3

3 1 4 2

3 2 1 4

4 1 2 3

由于逆序排列的数量非常大，因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。

 

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行：每行2个数n，k。中间用空格分隔。（2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)

Output

共T行，对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)

Input示例

1
4 3

Output示例

6

相关问题

思路：

设dp[i][j]表示1-i的全排列中逆序数为j的个数。试想，假如一直dp[i-1]的每一种状态，那么和dp[i]有什么关系。

不难得出，对于已知的dp[i-1]的基础上，插入i就可以得到dp[i]。但是i的位置放置的不同，就影响了dp[i]的每一项。

列出i取值1,2,3,4的每一项，可以得出一个关系式：

得到这个关系式其实这道题目已经可以做了，利用前缀和优化，但是还可以更进一步

同理有：

此时假设k可以取到0，实际上max在这里只是优化

则可以得到：

最后需要注意相减可能为负数，需要加上mod再取mod

代码：

 #include <stdio.h>
 const int mod=;
 int dp[][];
 void init() {
     for(int i=;i<=;++i) {
         dp[i][]=;
     }
     for(int i=;i<=;++i) {
         int maxval=i*(i-)>>;
         for(int j=;j<=maxval&&j<=;++j) {
             int temp=;
             if(j>=i) temp=dp[i-][j-i];
             dp[i][j]=((dp[i][j-]+dp[i-][j]-temp)%mod+mod)%mod;
         }
     }
 }
 int main() {
     init();
     int T,n,k;
     scanf("%d",&T);
     while(T--) {
         scanf("%d %d",&n,&k);
         printf("%d\n",dp[n][k]);
     }
     return ;
 }