Min_25
可以用来筛出一个积性函数的前缀和。这个积性函数要满足当\(x\)是质数时,\(f(x)\)可以快速求出,\(f(x^k)\)也可以快速算出。
首先我们要处理出一个\(g(x)=\sum_{x\in prime}f(x)\),处理这个的主要思想和埃氏筛法差不多。我们只要\(x\)是质数时候的值,那么,我先假设所有的数是质数,然后一步步筛掉不是质数的\(x\)的函数值。
具体地,先把\(\sqrt{ n }\) 以内的质数筛出来,我们设\(g(n,j)\)表示已经筛掉了\(n\)以内的,含有小于等于\(p_j\)的质因子的和数的答案。考虑从\(g(n,j-1)\)转移到\(g(n,j)\),也就是我们要把那些最小质因子是\(p_j\)的数的函数值从中剪掉。
如果\(p_j^2>n\), 那么就没有这样的数,所以\(g(n,j)=g(n,j-1)\)。所以\(p_j\)只要到枚举到\(\sqrt{n}\),\(g(\sqrt{n},|P|)\),就是最后的前缀和。
要不然就要减掉一些。因为这是积性函数,我们直接把质因子\(p_j\)提出来,乘上剩下的部分,也就是\(f(p_j)*[g(\frac{n}{p_j},j-1)-g(p_j-1,j-1)]\),后面减去的部分就是那些最小质因子比\(p_j\)小的。显然\(g(p_j-1,j-1)=\sum_{x\in prime}{f(x)}\),我们在筛质数的时候预处理一下。所以\(g(n,j)=g(n,j-1)-f(p_j)*[g(\frac{n}{p_j},j-1)-\sum_{x\in prime}f(x)]\)。
至于怎样实现,可以看看这个筛质数前缀和的代码。
#define id(x) ( (x)<=max_d?id1[x]:id2[d/(x)] )
__int128 cal(ll d)
{
cnt=0;
ll last;
__int128 now;
for(ll i=1;i<=d;i=last+1)
{
now=d/i;last=d/now;
num[++cnt]=now;
f[cnt]=now*(now+1)/2-1;
if(now<=max_d)id1[now]=cnt;
else id2[d/now]=cnt;
}
For(j,1,p[0])
{
__int128 m=(__int128)p[j]*p[j];
if(m>d)break;
for(int i=1;i<=cnt&&num[i]>=m;i++)
{
int t=id(num[i]/p[j]);
f[i]-=(__int128)p[j]*(f[t]-sum[p[j]-1]);
}
}
return f[id(d)];
}
有一个很神奇的结论,就是\(\lfloor \frac {n}{p_i*p_J}\rfloor=\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{p_i}\rfloor}{p_j}\rfloor\),所以我们只要把\(n\)的整除分块的那\(2\sqrt{n}\)个值全部处理出来就行了。
接下来,我们来计算一个积性函数的前缀和。设\(S(n,j)\)表示\(1\)到\(n\)的前缀和,并且含有\(>=p_j\)的质因子的和。
那么有\(S(n,j)=g(n,|P|)-\sum_{i=1}^{j-1} f(p_i)+\sum_{k>=j}\sum_{e}^{p_k^e<=n}(F(p_k^e)*S(\frac{n}{p_k^e},j+1)+F(p_k^{e+1}))\)。就是枚举最小质因子以及它的幂次,然后以后只能用\(>p_k\)的质因子。加上\(F(p_k^{e+1})\)是因为这一项枚举不到就要单独加上。
Min_25的更多相关文章
- 【UOJ448】【集训队作业2018】人类的本质 min_25筛
题目大意 给你 \(n,m\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_m=1}^i\operatorname{lcm}(\gcd(i,x_1),\gcd(i, ...
- Min_25 筛 学习笔记
原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Min-25.html 前置技能 埃氏筛法 整除分块(这里有提到) 本文概要 1. 问题模型 2. Min_25 ...
- UOJ188 Sanrd Min_25筛
传送门 省选之前做数论题会不会有Debuff啊 这道题显然是要求\(1\)到\(x\)中所有数第二大质因子的大小之和,如果不存在第二大质因子就是\(0\) 线性筛似乎可以做,但是\(10^{11}\) ...
- 【SPOJ】DIVCNTK min_25筛
题目大意 给你 \(n,k\),求 \[ S_k(n)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i^k) \] 对 \(2^{64}\) 取模. 题解 一个min_25筛模板题. 令 \(f(n)= ...
- 【51NOD1847】奇怪的数学题 min_25筛
题目描述 记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数. 给你\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \] 对\(2^{32}\) ...
- 【51NOD1965】奇怪的式子 min_25筛
题目描述 给你\(n\),求 \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)} \] 对\({10}^{12}+39\)取模. \(\sigma_0(i)\)表示约数个 ...
- min_25筛
min_25筛 用来干啥? 考虑一个积性函数\(F(x)\),用来快速计算前缀和\[\sum_{i=1}^nF(i)\] 当然,这个积性函数要满足\(F(x),x\in Prime\)可以用多项式表示 ...
- 关于 min_25 筛的入门以及复杂度证明
min_25 筛是由 min_25 大佬使用后普遍推广的一种新型算法,这个算法能在 \(O({n^{3\over 4}\over log~ n})\) 的复杂度内解决所有的积性函数前缀和求解问题(个人 ...
- 51Nod1222 最小公倍数计数 数论 Min_25 筛
原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1222.html 题意 给定 $a,b$, 求 $$\sum_{n=a}^b \sum_{i=1}^n ...
- 洲阁筛 & min_25筛学习笔记
洲阁筛 给定一个积性函数$F(n)$,求$\sum_{i = 1}^{n}F(n)$.并且$F(n)$满足在素数和素数次幂的时候易于计算. 显然有: $\sum_{i = 1}^{n} F(n) = ...
随机推荐
- c++入门之—运算符重载和友元函数
运算符重载的意义是:将常见的运算符重载出其他的含义:比如将*重载出指针的含义,将<<与cout联合使用重载出输出的含义,但需要认识到的问题是:运算符的重载:本质仍然是成员函数,即你可以认为 ...
- SpringCloud微服务架构分布式组件如何共享session对象
一.简单做一个背景说明1.为说明问题,本文简单微服务架构示例如下 2.组件说明分布式架构,每个组件都是集群或者主备.具体说明如下:zuul service:网关,API调用都走zuul service ...
- git更新提交代码常用命令
git pull 拉取代码 git add -A 提交所有变化(包括删除.新增.修改) git commit -m "注释" 本地仓库提交 git push origin mast ...
- Linux reboot与init 6区别
Reboot与init 6的区别 - flyingcloud_2008的专栏 - CSDN博客https://blog.csdn.net/flyingcloud_2008/article/detail ...
- react 组件列表
let data=[ [ '同时入选IMDB250和豆瓣电影250的电影', '带你进入不正常的世界', '用电[影]来祭奠逝去的岁月', '女孩们的故事[电影]', '', '使用 App [找电影 ...
- Mybatis+Spring整合后Mapper测试类编写
public class UserMapperTest { private ApplicationContext applicationContext; @Before public void ini ...
- spring AOP的用法
AOP,面向切面编程,它能把与核心业务逻辑无关的散落在各处并且重复的代码给封装起来,降低了模块之间的耦合度,便于维护.具体的应用场景有:日志,权限和事务管理这些方面.可以通过一张图来理解下: Spri ...
- 安装splash
参考: https://blog.csdn.net/qq_41020281/article/details/82599075
- python之路--管道, 事件, 信号量, 进程池
一 . 管道 (了解) from multiprocessing import Process, Pipe def f1(conn): # 管道的recv 里面不用写数字 from_main_proc ...
- 爬虫实战——Scrapy爬取伯乐在线所有文章
Scrapy简单介绍及爬取伯乐在线所有文章 一.简说安装相关环境及依赖包 1.安装Python(2或3都行,我这里用的是3) 2.虚拟环境搭建: 依赖包:virtualenv,virtualenvwr ...