【信号与线性系统】为什么求解零输入响应时转移算子H(p)不能约分，但计算单位冲激响应时却可以约分？

为什么求零输入响应r_ZI时转移算子H(p)不能约分？

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我们知道，求零输入响应r_ZI的实质其实是求解微分方程 D(p)r(t) = N(p)e(t) 的解。由于这里 e(t)=0 ，所以这是一个齐次方程，那么我们求解的实际上是它的通解。我们知道，求通解，就是要完整地表示出它的解空间，如果我们因为某种缘故少求了其中一个基解，那么这个解空间就会丢失一个维度。
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为了便于说明，这里设 D(p) = (p-a)(p-b) ， N(p) = (p-a) ， H(p) = N(p) / D(p) 。
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则原微分方程变形为 (p-a)(p-b)r_ZI(t) = (p-a)e(t) ， 当然也可以写成 r_ZI(t) = H(p)·0 。
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在不约分的情况下，那么求解 (p-a)(p-b)r_ZI(t) = 0 ，只需求解 (p-a)r_1ZI(t) = 0 和 (p-b)r_2ZI(t) = 0 ，再利用线性性进行叠加求出通解即可。
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可以求出通解 r_ZI(t) = c₁e^at + c₂e^bt ，它的解空间是二维的。
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如果约分会怎样？原方程变为 (p-b)r_ZI(t) = e(t) ， 此时，我们只能求解 (p-b)r_2ZI(t) = 0 。而另一个方程 (p-a)r_1ZI(t) = 0 的解消失了！
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为什么？因为在我们对原方程进行约分的时候，我们默认 (p-a)r_1ZI(t) ≠ 0 ，否则就不能约分。就是在这里，我们丢失了方程 (p-a)r_1ZI(t) = 0 。
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这就是症结所在。假如我们在约分时，记得补充 (p-a)r_1ZI(t) = 0 的情况，那么我们仍然可以得到两个方程，这个时候仍然能够求出正确的通解。
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为什么求单位冲激响应h(t)时转移算子H(p)又可以约分呢？

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我们还是沿用上面的例子，并对它稍作改动，将会得到一个新的方程 (p-a)(p-b)h(t) = (p-a)δ(t) 。这里，方程右边 (p-a)δ(t) ≠ 0 ，我们所需要求的是一个非齐次特解，而且这个特解是唯一的。
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既然已经排除了 (p-a)δ(t) = 0 的可能，那么我们可以放心地约去 (p-a) 。而且我们求的是特解，所以只需要求出一个正确的解即可，而不必像通解那样考虑整个解空间，也不用担心由于少了一个基解，使解空间降维的问题。
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事实上，假定我们利用 h'(t) - bh(t) = δ(t) 求出了h(t) ，那么自然有 [h''(t) - bh'(t)] - a[h'(t) - bh(t)] = δ'(t) - aδ(t) ，即已经满足方程 (p-a)(p-b)h(t) = (p-a)δ(t) ，它就是一个正确的特解。我们只需要求出一个特解，那么这个h(t)正是我们需要的结果。
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（完）