luogu3731 新型城市化

题目链接

思路

这道题对于题意的转化很关键。

题目要求的是添上一条边，使得图中最大团的大小变大。给出的边是原图的补集，这就给我们了提示。

因为题目中说，原图中最多有两个团。所以给出的边一定形成了一个二分图。

那么最大团就是新图中的最大独立集。

那么问题就转化成了，在新图中删除一条边，使得新图中的最大独立集变大。

因为最大独立集 = 点数-最大匹配。

所以我们要让最大匹配变小。

考虑删除哪些边会让最大匹配变小。首先肯定要在跑完网络流之后是满流的。然后不能由其他的边来代替。也就是说在残余网络上跑一遍\(tarjan\)，满足两段不在同一个强联通分量中的边。

所以做法也就出来了。先建图跑一遍网络流，然后在残余网络上\(tarjan\)一遍。再遍历所有边，找出那些不在两段不在同一个强连通分量中，并且满流的边。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define change(x) x & 1 ? x + 1 : x - 1
const int M = 600010,N = 10010,INF = 1e9 + 7;
ll read() {
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') {
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
struct node {
	int u,v,nxt,w;
}e[M << 1],E[M << 1],ans[M << 1];
int anss;
int head[N],ejs;
void add(int u,int v,int w) {
	e[++ejs].u = u;e[ejs].v = v;e[ejs].w = w;e[ejs].nxt = head[u];head[u] = ejs;
	e[++ejs].u = v;e[ejs].v = u;e[ejs].w = 0;e[ejs].nxt = head[v];head[v] = ejs;
}
void ADD(int u,int v) {
	E[++ejs].u = u;E[ejs].v = v;E[ejs].nxt = head[u];head[u] = ejs;
	E[++ejs].v = u;E[ejs].u = v;E[ejs].nxt = head[v];head[v] = ejs;
}
int n,m,S,T;
int lb[N];
void con(int u) {
	for(int i = head[u];i;i = E[i].nxt) {
		int v = E[i].v;
		if(lb[v]) continue;
		lb[v] = 3 - lb[u];
		con(v);
	}
}
int dep[N],dfn[N],inque[N],sta[N],top,low[N],cnt,col[N],coljs;
void tarjan(int u) {
	dfn[u] = low[u] = ++cnt;
	sta[++top] = u;inque[u] = 1;
	for(int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].v;
		if(e[i].w <= 0) continue;
		if(!dfn[v]) tarjan(v),low[u] = min(low[u],low[v]);
		else if(inque[v]) low[u] = min(low[u],low[v]);
	}
	if(low[u] == dfn[u]) {
		++coljs;
		while(sta[top + 1] != u) {
			inque[sta[top]] = 0;
			col[sta[top--]] = coljs;
		}
	}
}
queue<int>q;
int bfs() {
	memset(dep,0,sizeof(dep));
	while(!q.empty()) q.pop();
	q.push(S);dep[S] = 1;
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front();q.pop();
		for(int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
			int v = e[i].v;
			if(dep[v] || e[i].w <= 0) continue;
			dep[v] = dep[u] + 1;
			if(v == T) return 1;
			q.push(v);
		}
	}
	return 0;
}
int dfs(int u,int now) {
	if(u == T) return now;
	int re = 0;
	for(int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].v;
		if(e[i].w <= 0 || dep[v] != dep[u] + 1) continue;
		int k = dfs(v,min(now,e[i].w));
		if(k) {
			e[i].w -= k;
			e[change(i)].w += k;
			now -= k;
			re += k;
			if(!now) break;
			// return k;
		}
	}
	return re;
}
void dinic() {
	while(bfs()) {
		int k = dfs(S,INF);
		while(k) {
			k = dfs(S,INF);
		}
	}
}
bool tmp(node X,node Y) {
	int k1 = min(X.u,X.v),t1 = max(X.u,X.v),k2 = min(Y.u,Y.v),t2 = max(Y.u,Y.v);
	return k1 == k2 ? t1 < t2 : k1 < k2;
}
int main() {
	n = read(),m = read();
	for(int i = 1;i <= m;++i) {
		int u = read(),v = read();
		ADD(u,v);
	}
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		if(!lb[i]) lb[i] = 1,con(i);
	memset(head,0,sizeof(head));
	ejs = 0;
	S = n + 1,T = S + 1;
	for(int i = 1;i <= n;++i) {
		if(lb[i] == 1) add(S,i,1);
		else add(i,T,1);
	}
	for(int i = 1;i <= m * 2;i += 2) {
		if(lb[E[i].u] == 1) add(E[i].u,E[i].v,1);
		else add(E[i].v,E[i].u,1);
	}
	dinic();
	for(int i = 1;i <= n;++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);
	for(int i = 1;i <= ejs;i += 2) {
		int u = e[i].u,v = e[i].v;
		if(col[u] != col[v] && e[i].w == 0 && e[i].u <= n &&e[i].v <= n) {
			ans[++anss] = e[i];
		}
	}
	printf("%d\n",anss);
	sort(ans + 1,ans + anss + 1,tmp);
	for(int i = 1;i <= anss;++i) {
		printf("%d %d\n",min(ans[i].u,ans[i].v),max(ans[i].u,ans[i].v));
	}
	return 0;
}