hdu 1907 (尼姆博弈)
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1907
Both of players are using optimal game strategy. John starts first always. You will be given information about M&Ms and your task is to determine a winner of such a beautiful game.
Constraints:
1 <= T <= 474,
1 <= N <= 47,
1 <= Ai <= 4747
1、问题模型:有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
2、解决思路:用(a,b,c)表示某种局势,显证(0,0,0)是第一种奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。
搞定这个问题需要把必败态的规律找出:(a,b,c)是必败态等价于a^b^c=0(^表示异或运算)。
证明:(1)任何p(a,b,c)=0的局面出发的任意局面(a,b,c’);一定有p(a,b,c’)不等于0。否则可以得到c=c’。
(2)任何p(a,b,c)不等于0的局面都可以走向 p(a,b,c)=0的局面
(3)对于 (4,9,13) 这个容易验证是奇异局势
其中有两个8,两个4,两个1,非零项成对出现,这就是尼姆和为 零的本质。别人要是拿掉13里的8或者1,那你就拿掉对应的9 中的那个8或者1;别人要是拿 掉13里的4,你就拿掉4里的4; 别人如果拿掉13里的3,就把10作分解,然后想办法满 足非零项成对即可。
3、推广一:如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a^b,即可,因为有如下的运算结果: a^b^(a^b)=(a^a)^(b^b)=0^0=0。要将c 变为a^b,只从 c中减去 c-(a^b)
4、推广二:当石子堆数为n堆时,则推广为当对每堆的数目进行亦或之后值为零是必败态。
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>;
using namespace std;
int n,m,a[];
int main(){
int T;
cin>>T;
while(T--){
cin>>n;
int flag=;
for(int i=;i<=n;i++){
cin>>a[i];
if(a[i]!=)flag=;
}
if(!flag){
if(n%)puts("Brother");
else puts("John");
continue;
}
int ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
ans^=a[i];
if(ans)puts("John");
else puts("Brother");
}
return ;
}
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