题解-CodeForces835F Roads in the Kingdom

Problem

CodeForces-835F

题意：求基环树删去环上任意一边后直径最小值，直径定义为所有点对最近距离的最大值

Solution

首先明确删去环上一点是不会影响树内直径的，所以应当先把所有树的直径求出来，这是树形Dp可以解决的，同时建议使用树形Dp，可以一次性求出接下来要用到的数据

这是直径在树上的情况，接下来考虑直径从树开始，中途经过环，最后回到树的情况

我们先把每个点向树里头能走的最远距离（也就是带权深度）\(f[x]\)求出来，同时把环排成一行，放到栈里头\(st[1]\)~\(st[top]\)，同时把这个环边权的前缀和求出来，放到数组\(pre\)里面

考虑删去边\((st[d],st[d+1])\)

则最远点对\((x,y)\)有这两种情况：

• \(case~1~(1\leq x\leq y\leq d~or~d+1\leq x\leq y\leq n): ans=f[x]-pre[x]+f[y]+pre[y]\)
• \(case~2~(1\leq x\leq d,d+1\leq y\leq n): ans=f[x]+pre[x]+f[y]-pre[y]+pre[n]\)

由于我们需要快速求出删去每一条边的最远点对，所以可以考虑维护前缀后缀最大值：

\(gl_x=\max\{f_i-pre_i\big|i\in[1,x]\}\)

\(gr_x=\max\{f_i-pre_i\big|i\in[x,n]\}\)

\(hl_x=\max\{f_i+pre_i\big|i\in[1,x]\}\)

\(hr_x=\max\{f_i+pre_i\big|i\in[x,n]\}\)

这样的话，最远距离\(ans\)可以转化为\(ans=\max(fl_d+hl_d,fr_{d+1}+hr_{d+1},pre_n-hl_d+gr_{d+1})\)

由于这是个环，记得特殊考虑删去边\((top,1)\)

还有一点需要注意，就是加起来的两个值不能在同一个地方取到，比如说\(fl_2=f_1-pre_1,hl_2=f_1+pre_1\)，则\(fl_2\)和\(hl_2\)加起来是没有意义的，需要舍去，所以我们对于每个数组还需要维护一个次大值

(⊙v⊙)嗯，你没看错，就是八个数组

Code

如果需要解释的话，\(get\_cir\)是找环的，\(dfs\)是处理树的情况的，\(work\)是处理环的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rg register

template <typename _Tp> inline _Tp read(_Tp&x){
	char c11=getchar(),ob=0;x=0;
	while(c11^'-'&&!isdigit(c11))c11=getchar();if(c11=='-')ob=1,c11=getchar();
	while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();if(ob)x=-x;return x;
}

const int N=201000;const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
struct Edge{int v,nxt,w;}a[N<<1];
int head[N],is[N],st[N],vis[N];
ll f[N],pre[N];
int gl[N],gr[N],hl[N],hr[N],hhl[N],hhr[N],ggl[N],ggr[N];
int n,m,_,top;ll Ans;

void get_cir(int x,int las){
	if(vis[x]){
		int p=top;
		while(st[p]^x)--p;
		for(rg int i=p;i<=top;++i)
			is[st[i-p+1]=st[i]]=1;
		st[0]=-1;top-=p-1;
		return ;
	}vis[st[++top]=x]=1;
	for(int i=head[x];i&&~st[0];i=a[i].nxt)
		if(a[i].v^las)get_cir(a[i].v,x);
	if(~st[0])vis[st[top--]]=0;
}

void dfs(int x,int las){
	ll sec=0ll;
	for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt)
		if(!is[a[i].v]&&a[i].v^las){
			dfs(a[i].v,x);f[a[i].v]+=a[i].w;
			if(f[a[i].v]>=f[x])sec=f[x],f[x]=f[a[i].v];
			else if(f[a[i].v]>sec)sec=f[a[i].v];
		}
	Ans=max(Ans,f[x]+sec);
}

inline ll G(int x){return x?f[st[x]]-pre[x]:-inf;}
inline ll H(int x){return x?f[st[x]]+pre[x]:-inf;}

void work(){
	st[0]=st[top];
	for(rg int x=1;x<=top;++x){
		for(rg int i=head[st[x-1]];i;i=a[i].nxt)
			if(a[i].v==st[x]){
				pre[x]=pre[x-1]+a[i].w;
				break;
			}
		dfs(st[x],0);
	}
	for(rg int i=1;i<=top;++i){
		gl[i]=gl[i-1],ggl[i]=ggl[i-1];
		hl[i]=hl[i-1],hhl[i]=hhl[i-1];
		if(G(i)>G(gl[i]))ggl[i]=gl[i],gl[i]=i;
		else if(G(i)>G(ggl[i]))ggl[i]=i;
		if(H(i)>H(hl[i]))hhl[i]=hl[i],hl[i]=i;
		else if(H(i)>H(hhl[i]))hhl[i]=i;
	}
	for(rg int i=top;i;--i){
		gr[i]=gr[i+1],ggr[i]=ggr[i+1];
		hr[i]=hr[i+1],hhr[i]=hhr[i+1];
		if(G(i)>G(gr[i]))ggr[i]=gr[i],gr[i]=i;
		else if(G(i)>G(ggr[i]))ggr[i]=i;
		if(H(i)>H(hr[i]))hhr[i]=hr[i],hr[i]=i;
		else if(H(i)>H(hhr[i]))hhr[i]=i;
	}
	ll ans;
	if(hl[top]!=gl[top])ans=G(gl[top])+H(hl[top]);
	else ans=max(G(ggl[top])+H(hl[top]),G(gl[top])+H(hhl[top]));
	for(rg int i=1;i<top;++i){
		ll val=pre[top]+H(hl[i])+G(gr[i+1]);
		ll tmp;
		if(gl[i]^hl[i])tmp=G(gl[i])+H(hl[i]);
		else tmp=max(G(ggl[i])+H(hl[i]),G(gl[i])+H(hhl[i]));
		val=max(val,tmp);++i;
		if(gr[i]^hr[i])tmp=G(gr[i])+H(hr[i]);
		else tmp=max(G(ggr[i])+H(hr[i]),G(gr[i])+H(hhr[i]));
		val=max(val,tmp);--i;
		ans=min(ans,val);
	}cout<<max(ans,Ans)<<endl;
}

void init();void work();
int main(){init();work();return 0;}

void init(){
	read(n);int u,v,w;
	for(rg int i=1;i<=n;++i){
		read(u),read(v),read(w);
		a[++_].v=v,a[_].w=w,a[_].nxt=head[u],head[u]=_;
		a[++_].v=u,a[_].w=w,a[_].nxt=head[v],head[v]=_;
	}get_cir(1,1);
}