Codeforces.871D.Paths(莫比乌斯反演 根号分治)

题目链接

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\(Description\)

给定\(n\)，表示有一张\(n\)个点的无向图，两个点\(x,y\)之间有权值为\(1\)的边当且仅当\(\gcd(x,y)\neq1\)。求\(1\sim n\)任意两点之间的最短路长度的和是多少。两个点不连通最短路长度为\(0\)。

\(n\leq10^7\)。

\(Solution\)

具体看这里吧，前面也挺重要的但我不抄了就简单记一下了（好像反而写的很详细了）。

先分类讨论一下，然后记\(mn_x\)为\(x\)的最小质因子，主要的问题在于求：$$\sum_{x,y}[\gcd(x,y)=1][mn_x\times mn_y\leq n]$$

反演一下（当然下面这个式子求出来要除以\(2\)）：$$\begin{aligned}上式&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{d\mid x}\sum_{d\mid y}[mn_x\times mn_y\leq n]\&=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}n[mn_x\times mn_y\leq n]+\sum_{d=2}^n\mu(d)\sum_{d|x}\sum_{d|y}[mn_x\times mn_y\leq n]\end{aligned}$$

前面部分可以直接拿个桶然后前缀和一下。对于后面的部分，我们考虑：

1. \(d\leq\sqrt n\)时，因为\(d\mid x\)，所以有\(mn_x\leq mn_d\)，即一定有\(mn_x\times mn_y\leq n\)。那么合法方案数是\(\lfloor\frac nd\rfloor^2\)。
2. \(d>\sqrt n\)时，设\(x=k_1d,y=k_2d\)，那么有\(k_1,k_2\leq\sqrt n\)。\(k_1,k_2\neq1\)时，\(k_1\times k_2\leq n\)显然合法。
   
   \(k\)有一个是\(1\)时，假设是\(k_2\)，\(mn_x\times mn_y\)就是\(k_1d=x\)，显然也是\(\leq n\)。
   
   \(k_1=k_2=1\)时，若\(d\)不是质数，那么\(d\)一定存在一个因子\(\leq\sqrt n\)，那么也有\(mn_x\times mn_y=mn_d^2\leq n\)。
   
   所以当且仅当\(k_1=k_2=1\)且\(d\)为质数时，\((x,y)\)不合法。那么合法方案数就是\(\lfloor\frac nd\rfloor^2\)-1。

那么枚举\(d\)就可以求出答案啦。

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#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
const int N=1e7+5;

int P[N>>3],phi[N],mu[N],mn[N],cnt[N];

void Init(const int n)
{
	phi[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2,cnt=0; i<=n; ++i)
	{
		if(!mn[i]) P[++cnt]=mn[i]=i, phi[i]=i-1, mu[i]=-1;
		for(int j=1,v; j<=cnt&&(v=i*P[j])<=n; ++j)
		{
			mn[v]=P[j];
			if(i%P[j]) phi[v]=phi[i]*(P[j]-1), mu[v]=-mu[i];
			else {phi[v]=phi[i]*P[j], mu[v]=0; break;}
		}
	}
}

int main()
{
	int n; scanf("%d",&n); Init(n);
	LL ans=0,t2=0,t3=0,tot=0;
	for(int i=2,half=n>>1; i<=n; ++i) if(mn[i]!=i||i<=half) ++tot, t2+=i-1-phi[i], ++cnt[mn[i]];
	tot=tot*(tot-1)>>1;//总合法对数
	for(int i=2; i<=n; ++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
	for(int i=2,half=n>>1; i<=n; ++i) if(mn[i]!=i||i<=half) t3+=cnt[n/mn[i]];
	for(int d=2,m=sqrt(n); d<=n; ++d)
	{
		LL tmp=1ll*(n/d)*(n/d);
		if(d>m&&mn[d]==d) --tmp;
		t3+=mu[d]*tmp;
	}
	t3>>=1, ans+=t2+(t3<<1)+(tot-t2-t3)*3;
	printf("%I64d\n",ans);

	return 0;
}