NOIp2018提高组 双栈排序

这真是道神奇的题目：

原题链接

首先我们要证明以下的性质：

若原序列为\(\{a_n\}\)，\(a_i\)和\(a_j\)不能同时放入一个栈中，当且仅当\(i<j,a_i<a_j\)，且存在\(k\)，\(s.t. \ k>j\)的同时有\(a_k<a_i\)。

原因很显然，因为有比\(a_i\)还小的元素在后面，若放入同一个栈中，必须先压栈压到\(a_k\)，再弹出，但又因为会先弹出\(a_j\)，序列的单调性就被破坏了。

所以对于每一对\(a_i\)和\(a_j\)，我们都可以用上述性质来判断它们是否能在同一个栈中，再用后缀最大值优化一下，复杂度\(O(n^2)\)。

然后我们就有了这样的一些关系，我们该如何利用这些关系来判断序列是否合法呢？

二分图染色，对于不能在同一个栈中的两个位置，我们连一条无向边，然后dfs判断所有点能否二染色。如果能，序列就是合法的，否则不合法。

对于染色后的图，其实我们已经知道操作顺序了，又因为题目要求字典序最小，所以我们只用模拟一下，优先在栈\(S1\)上操作就行了。

上代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define wrap cout << endl

const int N = 1000;

int n, a[N+5], color[N+5], f[N+5], flag;
vector<int> G[N+5];

void addEdge(int u, int v) {
    G[u].push_back(v);
    G[v].push_back(u);
}

void dfs(int u) {
    for(int i = 0; i < G[u].size(); ++i) {
        int v = G[u][i];
        if(color[v]) {
            if(color[v] == color[u])
                flag = 1;
        }
        else {
            color[v] = 3-color[u];
            dfs(v);
        }
    }
}

void solve() {
    int cur = 1;
    stack<int> s1, s2;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) { //模拟
        if(color[i] == 1) s1.push(a[i]), cout << 'a' << " ";
        if(color[i] == 2) s2.push(a[i]), cout << 'c' << " ";
        while((!s1.empty() && s1.top() == cur) || (!s2.empty() && s2.top() == cur)) {
            if(!s1.empty() && s1.top() == cur) s1.pop(), cout << 'b' << " ";
            if(!s2.empty() && s2.top() == cur) s2.pop(), cout << 'd' << " ";
            ++cur;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    f[n+1] = 0x3f3f3f3f;
    for(int i = n; i >= 1; --i) f[i] = min(f[i+1], a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = i+1; j <= n; ++j)
            if(a[i] < a[j] && f[j+1] < a[i]) addEdge(i, j); //判断是否加边
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        if(!color[i])
            color[i] = 1, dfs(i);
    if(flag) {
        cout << "0" << endl;
        return 0;
    }
    solve();
    return 0;
}