[BJOI2019] 光线

看起来很麻烦，做起来并不难的题

以下设：$a_i=\frac{a_i}{100},b_i=\frac{b_i}{100}$

显然，如果$b_i=0$的话，直接求$\Pi a_i$就是答案。

解决反射问题是这个问题的关键

我们显然可以认为一束光透过之后，可以等其他的光一起
**透过干净** 再往后走。

这样就存在Dp的阶段了。

网上很多从“前i个整体透光率”“整体反光率”什么的，或者枚举反射次数，还要等比数列求和。其实不用这么麻烦。

设$f[i][1]$表示，一单位的光从玻璃i左边射过来，**最终透过的比率**

$f[i][2]$表示，一单位的光从玻璃i右边设过来，**最终反射回来的比率**

（最终就是经过相当长的一段时间后累计的总和。）

递推式很显然了，只要枚举“回收”光线的情况

$f[i][1]=a_i+b_i\times f[i-1][2] \times f[i][1]$

移项，除过去，可以得到：

$f[i][1]=\frac{a_i}{1-b_i\times f[i-1][2]}$

以及：

$f[i][2]=b_i+a_i\times f[i-1][2] \times f[i][1]$

发现存在边界：$f[1][1]=a_1,f[1][2]=b_1$

然后递推。

最后求$\Pi f[i][1]$即可得到答案

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
template<class T>il void output(T x){if(x/)output(x/);putchar(x%+'');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');}

namespace Miracle{
const int N=5e5+;
const int mod=1e9+;
int n;
int iv;
int a[N],b[N];
int ad(int x,int y){
    return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int qm(int x,int y){
    int ret=;
    while(y){
        if(y&) ret=(ll)ret*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod;
        y>>=;
    }
    return ret;
}
int f[N][];
int main(){
    iv=qm(,mod-);
    rd(n);
    for(reg i=;i<=n;++i){
        rd(a[i]);rd(b[i]);
        a[i]=(ll)a[i]*iv%mod;
        b[i]=(ll)b[i]*iv%mod;
    }
    f[][]=a[];
    f[][]=b[];
    for(reg i=;i<=n;++i){
        f[i][]=(ll)a[i]*qm(ad(,mod-(ll)b[i]*f[i-][]%mod),mod-)%mod;
        f[i][]=ad(b[i],(ll)a[i]*f[i-][]%mod*f[i][]%mod);
    }
    int ans=;
    for(reg i=;i<=n;++i){
        ans=(ll)ans*f[i][]%mod;
    }
    cout<<ans;
    return ;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return ;
}

/*
   Author: *Miracle*
*/