【逆元】HDU-1576

逆元：

　　同余方程 ax≡1(mod n)，gcd(a,n) = 1 时有解，这时称求出的 x 为 a 的对模n的乘法逆元。（注意：如果gcd(a,n)如果不等于1则无解），解法还是利用扩展欧几里得算法求解方程 ax + ny = 1 求出 x。

     /**
      * 求逆元
      * ax = 1 (% mo),gcd(a,mo)=1
      * ax+mo*y=1
      * */
     public static long inverseElement(long a, long mo) throws Exception {

       long d = linearEquation(a, mo, 1);//ax+mo*y=1
       x = (x % mo + mo) % mo;//保证x>0
       return d;
     }

题目：HDU-1576

　　

　　思路：设(A/B)%9973 = k, 则A/B = k + 9973x  (x未知）， 因此A = kB + 9973xB,又A%9973 = n， 所以kB%9973 = n,  故kB = n + 9973y (y未知)，故(k/n)B +(-y/n)*9973 = gcd(B,9973) = 1扩展欧几里得 求出k/n,  再乘以个n，记得取模，就是answer了。

　　代码：

 import java.util.Scanner;

 /**
  * (A/B)%9973,求余,除法不满足交换性,可改为求B关于9973的逆元x,
  * 这样结果等价于Ax%9973等价于x*A%9973等价于xn%9973,
  */

 public class HDU1576 {

     public static void main(String[] args) {
         Scanner scanner = new Scanner(System.in);
         int T = scanner.nextInt();
         for (int i = 0; i < T; i++) {
             int n = scanner.nextInt();
             int b = scanner.nextInt();
             try {
                 MyGcd.inverseElement(b, 9973);
                 long x = MyGcd.x;
                 System.out.println(x*n%9973);
             } catch (Exception e) {
                 // TODO: handle exception
             }
         }
     }

     private static class MyGcd{
         static long x;
         static long y;

         public static long gcd(long m, long n) {
             return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
         }

         public static long ext_gcd(long a,long b){
             if (b==0) {
                 x = 1;
                 y = 0;
                 return a;
             }
             long res = ext_gcd(b, a % b);
             long x1 = x;
             x = y;
             y = x1 - a / b * y;
             return res;
         }

         public static long linearEquation(long a, long b, long m) throws Exception {
             long d = ext_gcd(a, b);
             if (m % d != 0) {
                 throw new Exception("无解");
             }
             long n = m / d;
             x *= n;
             y *= n;
             return d;
         }

         public static long inverseElement(long a, long mo) throws Exception {

             long d = linearEquation(a, mo, 1);// ax+mo*y=1
             x = (x % mo + mo) % mo;// 保证x>0
             return d;
         }
     }
 }

　　结果：