P5038 奇怪的游戏

题目询问了一个不能确定的时间，所以显然做法中要包含一个二分答案。

我们将整张图分为黑白点两种，黑点旁边的点就是白点，白点旁边的点就是黑点，想一下就能知道，每次操作会使黑白点的数字各加一，而我们的目的就是让整张图的黑白点都是同一个数字。

设这个数字是 \(x\)，黑点有 \(num_0\) 个，未操作前的数字总和是 \(sum_0\)，白点有 \(num_1\) 个，未操作前的数字总和是 \(sum_1\)，因为操作次数相等，

那么有：

\[num_0\times x-sum_0=num_1\times x-sum_1
\]

移项可得：

\[x=(sum_1-sum_0)/(num_1-num_0)
\]

于是：

1. 当 \(num_1 \not= num_0\) 时，可以解出 \(x\)，若它是个小数则无解。另外我们要操作的次数为 \((x\times n\times m-sum_1-sum_0)/2\) ，所以如果这也是一个小数也无解，接着我们用网络流 \(check\) 一下 \(x\)，得出它能操作多少次，和上面算的一样就有解，否则无解。

2. \(num_1=num_0\) 显然这说明 \(n,m\) 中至少一个是偶数，操作次数还是 \((x\times n\times m-sum_1-sum_0)/2\)，前一项是偶数，后两项算一下如果是奇数，那么算出次数一定是小数，也无解，否则我们就可以利用单调性二分出合适的 \(x\) ，利用网络流得出答案。

单调性证明：

因为 \(num_1=num_0\)， 则

\[(num_1+num_0)\bmod 2=0
\]

即可以构造一层正好的满覆盖。也就是在正确答案后多铺了几层。所以具有单调性。

于是本题就愉快的做完了～

Code

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
namespace EMT{
	typedef long long ll;typedef double db;//(double)clock() / (double)CLOCKS_PER_SEC;
	#define int long long
	#define pf printf
	#define F(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
	#define D(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;i--)
	inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
	inline void file(){freopen("in.in","r",stdin);freopen("my.out","w",stdout);}
	inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
	inline void pi(int x){pf("%lld ",x);}inline void pn(){pf("\n");}
	const int N=1650;struct dp{int num,sum;}p[2];const int inf1=1e18,inf2=1e14;
	int head[N],dis[N],co,Hd[N],n,pos[45][45],q[N],hd,tot,tl,cnt,m,S,T,a[45][45],b[45][45];struct node{int next,to,w;}e[N*10];
	inline void add(int next,int to,int w){e[++co].next=head[next],e[co].to=to,e[co].w=w,head[next]=co;}
	inline bool bfs(){
		memcpy(head,Hd,sizeof(Hd));
		memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
		q[hd=tl=1]=S;dis[S]=0;
		while(hd<=tl){
			int x=q[hd++];
			for(register int i=head[x];i;i=e[i].next)if(e[i].w){
				if(dis[e[i].to]>dis[x]+1){
					dis[e[i].to]=dis[x]+1;
					q[++tl]=e[i].to;
				}
			}if(x==T)return 1;
		}return 0;
	}
	inline int dfs(int x,int in){
		if(x==T)return in;
		int rest=in,go;
		for(register int i=head[x];i;head[x]=i=e[i].next)if(e[i].w){
			if(dis[e[i].to]==dis[x]+1){
				go=dfs(e[i].to,min(e[i].w,rest));
				if(go)e[i].w-=go,e[i^1].w+=go,rest-=go;
				else dis[e[i].to]=0;
			}if(!rest)break;
		}return in-rest;
	}
	inline int check(int x){
		int ans=0;co=1;
		memset(head,0,sizeof(head));tot=x*n*m-p[0].sum-p[1].sum;
		F(i,1,n)
			F(j,1,m)
			if(b[i][j]){
				if(j+1<=m)add(pos[i][j],pos[i][j+1],inf1),add(pos[i][j+1],pos[i][j],0);
				if(j-1>=1)add(pos[i][j],pos[i][j-1],inf1),add(pos[i][j-1],pos[i][j],0);
				if(i-1>=1)add(pos[i][j],pos[i-1][j],inf1),add(pos[i-1][j],pos[i][j],0);
				if(i+1<=n)add(pos[i][j],pos[i+1][j],inf1),add(pos[i+1][j],pos[i][j],0);
				add(S,pos[i][j],x-a[i][j]);add(pos[i][j],S,0);
			}else add(pos[i][j],T,x-a[i][j]),add(T,pos[i][j],0);
		memcpy(Hd,head,sizeof(head));
		while(bfs())ans+=dfs(S,inf1);
		if(ans>=tot/2)return ans;else return 0;
	}
	inline short main(){
		int TT=read();
		while(TT--){
			cnt=0;n=read(),m=read();S=++cnt;T=++cnt;int maxn=0;
			p[0].num=p[0].sum=p[1].num=p[1].sum=0;
			F(i,1,n)
				F(j,1,m){
					if(j==1)b[i][j]=b[i-1][j]^1;else b[i][j]=b[i][j-1]^1;
					p[b[i][j]].num++;pos[i][j]=++cnt;
					a[i][j]=read();p[b[i][j]].sum+=a[i][j];
					maxn=max(maxn,a[i][j]);
				}
			if(p[1].num!=p[0].num){
				if((p[1].sum-p[0].sum)%(p[1].num-p[0].num)!=0){pi(-1);pn();}
				int tt=(p[1].sum-p[0].sum)/(p[1].num-p[0].num);
				int x;
				if(tt!=(int)tt){pi(-1);pn();continue;}else x=tt;
				if((x*n*m-p[1].sum-p[0].sum)&1||x*n*m<p[1].sum+p[0].sum){pi(-1);pn();continue;}
				if(!check(x)){pi(-1);pn();}
				else{pi(check(x));pn();}
			}else{
				int l=maxn,r=inf2,ans=inf2;
				if((p[0].sum+p[1].sum)&1){pi(-1);continue;}
				while(l<=r){
					int mid=(l+r)>>1;
					int t=check(mid);
					if(t)r=mid-1,ans=t;
					else l=mid+1;
				}
				if(ans==inf2){pi(-1);pn();continue;}
				else pi(ans),pn();
			}
		}
		return 0;
	}
}
signed main(){return EMT::main();}