洛谷 P3676 - 小清新数据结构题（动态点分治）

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题目名称好评（实在是太清新了呢）

首先考虑探究这个“换根操作”有什么性质。我们考虑在换根前后虽然每个点的子树会变，但整棵树的形态不会边，换句话说，割掉每条边后，得到的两个子树的中点权之和不会变，因此我们考虑将这个东西与平方和挂钩。考虑构造 \(S=\sum\limits_{i=1}^nsiz_i(sum-siz_i)\)，其中 \(siz_i\) 为 \(i\) 子树内所有点点权之和，\(sum\) 为所有点点权之和。那么不难发现 \(S\) 就是断掉所有点之后形成的两个连通块的点权之和的乘积之和，根据之前的推论这东西不随根的改变而改变，也就是说它是一个定值。

考虑化简这个式子搞出一个 \(\sum\limits_{i=1}^nsiz_i^2\) 出来。上式可以改写为 \(\sum\limits_{i=1}^nsiz_i^2=sum·\sum\limits_{i=1}^nsiz_i-S\)，因此我们只用对于每个根求出 \(\sum\limits_{i=1}^nsiz_i\)，以及 \(S\) 的值即可求出答案。首先是减号前的 \(\sum\limits_{i=1}^nsiz_i\)。不难发现如果我们对一个点 \(x\) 的权值 \(+v\)，会导致点 \(y\) 的 \(\sum\limits_{i=1}^nsiz_i\) 增加 \(v·(\text{dist}(x,y)+1)\)，考虑动态点分治维护这个东西，先建出点分树，然后在点分树上跳祖先，假设 \(x\) 在点分树上存在一个祖先 \(y\)，它在点分树上的父亲为 \(f\)，那么 \(x\) 的这次修改对在 \(f\) 的子树内，却不在 \(y\) 子树内的点 \(z\) 的影响是，点 \(z\) 的答案加上 \((\text{dist}(z,f)+\text{dist}(f,x)+1)·v\)，维护三个标记 \(mk1_x,mk2_x,mk3_x\)，分别表示 \(x\) 会对其点分树子树内的点 \(y\) 的答案产生 \(\text{dist}(x,y)·mk1_x,\text{dist}(fa_x,y)·mk2_x,mk3_x\) 的贡献，这样通过 \(\mathcal O(n\log n)-\mathcal O(1)\) 距离即可在 \(\mathcal O(\log n)\) 的时间内对于一个根，求出 \(\sum\limits_{i=1}^nsiz_i\)。接下来是 \(S\) 的维护。我比较 sb 所以直接树剖+线段树维护以 \(1\) 为根时的答案，具体做法大概就是 DFS 序+线段树，考虑什么情况下对 \(x\) 加 \(v\) 会导致 \(siz\) 加 \(v\)，什么情况下会对 \(sum-siz\) 加 \(v\)，然后线段树维护一下即可，这里不再赘述。事实上还有更简洁的组合意义做法。对于一条边，割掉这条边后两个子树的大小的乘积，可以看作对于所有 \((u,v)\) 路径经过这条边的点对 \((u,v)\) 的 \(w_uw_v\) 之和除以 \(2\)，因此 \(S=\dfrac{1}{2}·\sum\limits_{u,v}\text{dist}(u,v)·w_uw_v\)，这东西也可以动态点分治。

如果两个式子的维护方式都用动态点分治实现的话那复杂度大概是 \(n\log n\) 的。而由于 wssb 所以我的程序复杂度是 2log 的，还码了 180+ 行

const int MAXN=2e5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int LOG_N=19;
int n,qu,hd[MAXN+5],to[MAXN*2+5],nxt[MAXN*2+5],ec=0,a[MAXN+5];
void adde(int u,int v){to[++ec]=v;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
int dep[MAXN+5],sz[MAXN+5],wson[MAXN+5],fa[MAXN+5],top[MAXN+5];
int dfn[MAXN+5],tim,dfn_eu[MAXN+5],tim_eu;
pii st[MAXN*2+5][LOG_N+2];
void dfs1(int x,int f){
	fa[x]=f;sz[x]=1;
	st[dfn_eu[x]=++tim_eu][0]=mp(dep[x],x);
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f) continue;dep[y]=dep[x]+1;
		dfs1(y,x);st[dfn_eu[x]=++tim_eu][0]=mp(dep[x],x);
		sz[x]+=sz[y];if(sz[y]>sz[wson[x]]) wson[x]=y;
	}
}
void dfs2(int x,int tp){
	dfn[x]=++tim;top[x]=tp;if(wson[x]) dfs2(wson[x],tp);
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]) if(to[e]!=fa[x]&&to[e]!=wson[x])
		dfs2(to[e],to[e]);
}
pii query_st(int l,int r){
	int k=31-__builtin_clz(r-l+1);
	return min(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}
int getlca(int x,int y){
	x=dfn_eu[x];y=dfn_eu[y];if(x>y) swap(x,y);
	return query_st(x,y).se;
}
int getdis(int x,int y){return dep[x]+dep[y]-(dep[getlca(x,y)]<<1);}
struct node{int l,r;ll sum,s1,s2,lz1,lz2;} s[MAXN*4+5];
void pushup(int k){
	s[k].s1=s[k<<1].s1+s[k<<1|1].s1;
	s[k].s2=s[k<<1].s2+s[k<<1|1].s2;
	s[k].sum=s[k<<1].sum+s[k<<1|1].sum;
}
void build(int k,int l,int r){
	s[k].l=l;s[k].r=r;if(l==r) return;int mid=l+r>>1;
	build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);
}
void tag(int k,ll v1,ll v2){
	s[k].sum+=1ll*v2*s[k].s1+1ll*v1*s[k].s2;
	s[k].sum+=1ll*(s[k].r-s[k].l+1)*v1*v2;
	s[k].s1+=v1*(s[k].r-s[k].l+1);
	s[k].s2+=v2*(s[k].r-s[k].l+1);
	s[k].lz1+=v1;s[k].lz2+=v2;
}
void pushdown(int k){
	if(s[k].lz1||s[k].lz2){
		tag(k<<1,s[k].lz1,s[k].lz2);
		tag(k<<1|1,s[k].lz1,s[k].lz2);
		s[k].lz1=s[k].lz2=0;
	}
}
void modify(int k,int l,int r,int v1,int v2){
	if(l>r) return;
	if(l<=s[k].l&&s[k].r<=r) return tag(k,v1,v2),void();
	pushdown(k);int mid=s[k].l+s[k].r>>1;
	if(r<=mid) modify(k<<1,l,r,v1,v2);
	else if(l>mid) modify(k<<1|1,l,r,v1,v2);
	else modify(k<<1,l,mid,v1,v2),modify(k<<1|1,mid+1,r,v1,v2);
	pushup(k);
}
int mx[MAXN+5],cent,siz[MAXN+5];bool vis[MAXN+5];
void findcent(int x,int f,int totsiz){
	mx[x]=0;siz[x]=1;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f||vis[y]) continue;
		findcent(y,x,totsiz);siz[x]+=siz[y];
		chkmax(mx[x],siz[y]);
	} chkmax(mx[x],totsiz-siz[x]);
	if(mx[cent]>mx[x]) cent=x;
}
int fa_t[MAXN+5];
void divcent(int x){
	vis[x]=1;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(vis[y]) continue;
		cent=0;findcent(y,x,siz[y]);//orz lca!
//		printf("cdt %d %d\n",cent,x);
		fa_t[cent]=x;divcent(cent);
	}
}
void prework(){
	dfs1(1,0);dfs2(1,1);mx[0]=INF;findcent(1,0,n);divcent(cent);
	for(int i=1;i<=LOG_N;i++) for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n+n;j++)
		st[j][i]=min(st[j][i-1],st[j+(1<<i-1)][i-1]);
	build(1,1,n);
}
void jumpath(int x,int v){
	while(x){
		modify(1,dfn[top[x]],dfn[x],v,-v);
		x=fa[top[x]];
	}
}
ll mark[MAXN+5],mark_f[MAXN+5],mark0[MAXN+5],tot=0;
void add(int x,int v){
	modify(1,1,n,0,v);jumpath(x,v);
	static int stk[LOG_N+3];int tp=0;
	for(int y=x;y;y=fa_t[y]) stk[++tp]=y;
//	printf("tp=%d\n",tp);
	reverse(stk+1,stk+tp+1);
	for(int i=1;i<=tp;i++){
		mark[stk[i]]+=v;mark0[stk[i]]+=1ll*v*getdis(x,stk[i]);
		if(i^tp) mark_f[stk[i+1]]-=v,mark0[stk[i+1]]-=1ll*v*getdis(x,stk[i]);
	}
	tot+=v;
}
ll query(int x){
	ll res=0;
	static int stk[LOG_N+3];int tp=0;
	for(int y=x;y;y=fa_t[y]) stk[++tp]=y;
	reverse(stk+1,stk+tp+1);
	for(int i=1;i<=tp;i++){
		res+=mark[stk[i]]*getdis(x,stk[i]);
//		printf("%d %lld %lld %lld\n",stk[i],mark[stk[i]],mark_f[stk[i]],mark0[i]);
		if(i^1) res+=mark_f[stk[i]]*getdis(x,stk[i-1]);
		res+=mark0[stk[i]];
	} //printf("%lld\n",s[1].sum);
//	printf("%lld\n",tot);
	return (res+tot)*tot-s[1].sum;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&qu);
	for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),adde(u,v),adde(v,u);
	prework();//printf("%d\n",getdis(2,3));
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),add(i,a[i]);
	while(qu--){
		int opt;scanf("%d",&opt);
		if(opt==1){
			int x,v;scanf("%d%d",&x,&v);
			add(x,-a[x]);a[x]=v;add(x,a[x]);
		} else {
			int x;scanf("%d",&x);
			printf("%lld\n",query(x));
		}
	}
	return 0;
}