[题解]第十一届北航程序设计竞赛预赛——I.神奇宝贝大师

题目描述

一张n*m的地图，每个格子里面有一定数量的神奇宝贝，求一个最优位置，使得所有神奇宝贝到该位置的曼哈顿距离最小。

一共有T组数据，每组数据包含两行，第一行是n和m(1<=n,m<=2000)，第二行是三个整数x,y,q，表示处于（i，j）(1<=i<=n,1<=j<=m)的神奇宝贝的数量为((x^i) + (y^j))mod q，其中1<=x,y<=2000，1<=q<=10。

输出最小的曼哈顿距离和。

解题思路

这道题与2015编程之美挑战赛的基站选址类似（其实可以说是简单版），当时我没有做出来，给个地址吧：http://hihocoder.com/problemset/problem/1150

分析题目可以发现，由于是求曼哈顿距离，所以横行和竖行可以分开考虑，于是问题就变成了求加权平均数的问题。

公式：ans_x = ∑(ai*i) / ∑ai，ans_y = ∑(bj*j) / ∑bj，其中ai表示第i行的神奇宝贝数量，bi表示第i列的神奇宝贝数量，当然有∑ai == ∑bj。

这里有两点需要注意：

1、当结果不是整数时，涉及到向上取整还是向下取整的问题，由于与所有非零点的分布有关，所以最简单的办法是有可能成为答案的四个点都做一次判断就好了。

2、这里涉及到除法，所以可能会出现分母为零的情况，即地图上木有神奇宝贝【o(≧口≦)o摔桌子】，所以要特判…… 我才不会说我因为这个wa了好久QAQ

附：c++代码

（代码中有被注释掉的高精度的部分，因为我之前对数据规模的估计出错了…… 目前的高精度的代码还有错误，所以借鉴需要注意……）

时间复杂度O(n^2)

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cmath>
  4
  5 using namespace std;
  6 #define MaxN 2020
  7 #define MLen 14
  8
  9 typedef int hp[MLen];
 10 typedef long long llt;
 11
 12 llt H[MaxN], L[MaxN];
 13 int n, m;
 14
 15 inline void Add(hp a, hp b, hp &Ret)
 16 {
 17     int i, Len = max(a[0], b[0]) + 1;
 18     hp c;
 19     for(i = 1; i <= Len; i++)
 20         c[i] = 0;
 21     for(i = 1; i <= Len; i++)
 22     {
 23         c[i] += a[i] + b[i];
 24         c[i + 1] += c[i] / 10;
 25         c[i] %= 10;
 26     }
 27     while(Len > 1 && c[Len] == 0)
 28         Len--;
 29     c[0] = Len;
 30     for(i = 0; i <= Len; i++)
 31         Ret[i] = c[i];
 32 }
 33
 34 inline void Add_Num(hp a, int b, hp &Ret)
 35 {
 36     int i, Len = a[0] + 1;
 37     hp c;
 38     for(i = 1; i <= Len - 1; i++)
 39         c[i] = a[i];
 40     c[i] = 0;
 41     c[1] += b;
 42     for(i = 1; i <= Len; i++)
 43     {
 44         c[i + 1] += c[i] / 10;
 45         c[i] %= 10;
 46     }
 47     while(Len > 1 && c[Len] == 0)
 48         Len--;
 49     c[0] = Len;
 50     for(i = 0; i <= Len; i++)
 51         Ret[i] = c[i];
 52 }
 53
 54 inline void Mul_Num(hp a, int b, hp &Ret)
 55 {
 56     int i, Len = a[0] + 5;
 57     hp c;
 58     for(i = 1; i <= a[0]; i++)
 59         c[i] = a[i] * b;
 60     for(i = a[0] + 1; i <= Len; i++)
 61         c[i] = 0;
 62     for(i = 1; i <= Len; i++)
 63     {
 64         c[i + 1] += c[i] / 10;
 65         c[i] %= 10;
 66     }
 67     while(Len > 1 && c[Len] == 0)
 68         Len--;
 69     c[0] = Len;
 70     for(i = 0; i <= Len; i++)
 71         Ret[i] = c[i];
 72 }
 73
 74 inline bool Check(hp a, hp b) // a<b
 75 {
 76     if(a[0] < b[0])
 77         return true;
 78     if(a[0] > b[0])
 79         return false;
 80     for(int i = a[0]; i >= 1; i--)
 81         if(a[i] < b[i])
 82             return true;
 83         else if(a[i] > b[i])
 84             return false;
 85     return true;
 86 }
 87
 88 inline int Chu(hp a, hp b) // a/b
 89 {
 90     int Low = 0, High = 2020, Mid;
 91     hp tmp;
 92     int op;
 93     while(Low < High) //[,)
 94     {
 95         Mid = Low + (High - Low) / 2;
 96         Mul_Num(b, Mid, tmp);
 97         if(Check(tmp, a)) //tmp < a
 98         {
 99             Low = Mid + 1;
100             op = 0;
101         }
102         else
103         {
104             High = Mid;
105             op = 1;
106         }
107     }
108     if(!op)
109         return Low - 1;
110     else
111         return High - 1;
112 }
113
114 inline void Cal_Dis(int ph, int pl, llt &Ret)
115 {
116     int i, j;
117     //hp Ans;
118     llt Ans = 0;
119     //Ans[0] = 1; Ans[1] = 0;
120     for(i = 1; i < ph; i++)
121         //Add_Num(Ans, (ph - i) * H[i], Ans);
122         Ans += (llt)(ph - i) * H[i];
123     for(i = ph + 1; i <= n; i++)
124         //Add_Num(Ans, (i - ph) * H[i], Ans);
125         Ans += (llt)(i - ph) * H[i];
126     for(j = 1; j < pl; j++)
127         //Add_Num(Ans, (pl - j) * L[j], Ans);
128         Ans += (llt)(pl - j) * L[j];
129     for(j = pl + 1; j <= m; j++)
130         //Add_Num(Ans, (j - pl) * L[j], Ans);
131         Ans += (llt)(j - pl) * L[j];
132     //for(i = 0; i <= Ans[0]; i++)
133     //    Ret[i] = Ans[i];
134     Ret = Ans;
135 }
136
137 inline void Print(hp a)
138 {
139     for(int i = a[0]; i >= 1; i--)
140         printf("%d", a[i]);
141     printf("\n");
142 }
143
144 int main()
145 {
146     int T;
147     int x, y, q;
148     int i, j, Num;
149     llt Ans, tmp;
150     //hp Sum_h, Sum_l, Psum_h, Psum_l;
151     llt Sum_h, Sum_l, Psum_h, Psum_l;
152     double ph, pl;
153     scanf("%d", &T);
154     while(T--)
155     {
156         scanf("%d%d", &n, &m);
157         scanf("%d%d%d", &x, &y, &q);
158         Psum_h = Psum_l = Sum_h = Sum_l = 0;
159         //Psum_h[0]  = Psum_l[0] = Sum_h[0] = Sum_l[0] = 1;
160         //Psum_h[1]  = Psum_l[1] = Sum_h[1] = Sum_l[1] = 0;
161         for(j = 1; j <= m; j++)
162             L[j] = 0;
163         for(i = 1; i <= n; i++)
164         {
165             H[i] = 0;
166             for(j = 1; j <= m; j++)
167             {
168                 Num = ((x ^ i) + (y ^ j)) % q;
169                 H[i] += Num;
170                 L[j] += Num;
171             }
172             Sum_h += H[i];
173             Psum_h += (llt)i * H[i];
174             //Add_Num(Sum_h, H[i], Sum_h);
175             //Add_Num(Psum_h, i * H[i], Psum_h);
176         }
177         for(j = 1; j <= m; j++)
178         {
179             Sum_l += L[j];
180             Psum_l += (llt)j * L[j];
181             //Add_Num(Sum_l, L[j], Sum_l);
182             //Add_Num(Psum_l, j * L[j], Psum_l);
183         }
184         //ph = Chu(Psum_h, Sum_h);
185         //pl = Chu(Psum_l, Sum_l);
186         if(!Sum_h) //Sum_h == Sum_l
187         {
188             printf("0\n");
189             continue;
190         }
191         ph = Psum_h / Sum_h;
192         pl = Psum_l / Sum_l;
193         Cal_Dis(ph, pl, Ans);
194         Cal_Dis(ph + 1, pl, tmp);
195         //if(Check(tmp, Ans))
196             //for(i = 0; i <= tmp[0]; i++)
197             //    Ans[i] = tmp[i];
198         if(tmp < Ans)
199             Ans = tmp;
200         Cal_Dis(ph, pl + 1, tmp);
201         //if(Check(tmp, Ans))
202             //for(i = 0; i <= tmp[0]; i++)
203             //    Ans[i] = tmp[i];
204         if(tmp < Ans)
205             Ans = tmp;
206         Cal_Dis(ph + 1, pl + 1, tmp);
207         //if(Check(tmp, Ans))
208             //for(i = 0; i <= tmp[0]; i++)
209             //    Ans[i] = tmp[i];
210         if(tmp < Ans)
211             Ans = tmp;
212         printf("%lld\n", Ans);
213         //Print(Ans);
214     }
215     return 0;
216 }

另一种思路

这是官方给的题解，没太明白O(n)是怎样实现的。

题目链接：https://biancheng.love/contest-ng/index.html#/29/problems