Dijkstra算法和Floyd算法的正确性证明

说明：

本文仅提供关于两个算法的正确性的证明，不涉及对算法的过程描述和实现细节

本人算法菜鸟一枚，提供的证明仅是自己的思路，不保证正确，仅供参考，若有错误，欢迎拍砖指正

 

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Dijkstra算法和Floyd算法用于求解连通图中任意两个顶点之间的最短路径

 

Dijksra算法从一个顶点v0出发，每次为一个顶点vi确定到达v0的最小路径

 

Dijkstra算法用distance[i]记录顶点vi到v0的最短路径，用path[i]记录在最短路径中vi顶点的前继顶点，另外再用found[i]来标志顶点vi的最短路径是否已经确定

 

distance[]初始化为v0在邻接矩阵中的对应行，distance[i]记录了 以目前已经探明最小路径的顶点（以下简称已定顶点）（包括v0）为前继顶点 的所有路径中最短的路径长

Dijkstra算法做出了这样一个判断：每次从尚未确定最小路径的顶点中（一下简称 未定顶点）挑选一个distance值最小的顶点vj，则该顶点对应的distance[j]必定是vj的真实的最小路径长度，下面证明这个判断：

 

对于任意一个未定顶点，其最小路径中必定至少包含一个已定顶点（至少会包含v0），则该路径中至少有一个未定顶点vm以一个已定顶点vn为前继顶点，而length(v0-vn-vm) >= diatance[m] >= distance[j]，也就说任意一个未定顶点的最小路径长必定不小于distance[j]，由此就可以确定distance[j]必定是vj真实的最小路径长

 

Dijkstra算法的复杂度是n^2，每次确定一个顶点的最短路径，而确定一个顶点的最短路径需要遍历并比较distance数组，并且确定之后需要遍历更新distance数组，所以是n*n的开销

 

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Floyd算法的执行逻辑甚为简单，包含了三个循环的嵌套；其思路是遍历图中的每一个点，针对这个点vm，遍历图中任意两个顶点的两两组合vi和vj，比较vi和vj当前的最短连接和通过vm的连接的大小，并且把新的当前最短连接重置为其中更小的那个值；这样一圈遍历下来，就可以保证得到图中任意两个顶点之间的最小距离

 

这看起来并不靠谱，因为在最初vi和vm、vj和vm之间的最小路径都尚未安全确定下来的时候，如何能够马上就拿来比较，这时的比较不应该是无效的吗？

 

但是事实上并不需要每一步都实现严格的有效的比较，因为全部遍历下来之后，肯定会发生一次有效的比较

 

下面给出证明：

假设vi、vj之间的最小路径一共包括x个其它顶点，显然这条路径也确定了其中任何两个顶点之间的最小路径，否则比如vm、vn之间有不属于当前路径的最小子路径，则用该子路径替代当前的子路径，就可以得到更小的vi、vj之间的最小路径

 

对于这条路径上的任意三个相邻（至少会有一组相邻三顶点）顶点vm1、vm2、vm3，当遍历到vm2时，显然此时vm1-vm2-vm3这条最小子路径就会被连接起来（因为这条路径必定是vm1到vm3的最小子路径）；事实上，当遍历到这条最小路径上的任意一个顶点的时候（除了vi、vj），就会把相邻的两个顶点连接起来；当所有顶点都被遍历之后，这x个顶点也必定已经把其在最小路径上相邻的顶点全都连接完毕，包括分别在两端的vi和vj顶点；换句话说，vi和vj之间的最小子路径必定已经被找到

 

Floyd算法的复杂度为n^3