Riccati方程(微分方程)

形如:$$\frac{dy}{dx}=P(x)y^{2}+Q(x)y+R(x)$$

其中P(x)、Q(x)、R(x)是连续可微函数

或形如

$$\frac{dy}{dx}=ay^{2}+\frac{k}{x}y+\frac{c}{x^{m}}$$

其中a、k、c、m为常数

一般情况下，Riccati方程不能用初等积分方法求出它的通解，如果知道它的一个特解，就可以用初等积分方法求出通解

设Riccati方程一个特解$y^{*}=y_{1}$

令$$y=z+y_{1}$$

则Riccati方程转化为

$$\frac{dz}{dx}=[2P(x)y_{1}+Q(x)]z+P(x)z^{2}$$

这是一个伯努利方程，可求出通解，再代入$y=z+y_{1}$即可

特解形式

如果一阶微分方程形式如: $$\frac{dy}{dx}=\frac{f^{'}(x)}{g(x)}-\frac{g^{'}(x)}{f(x)}$$

特解为$y=-\frac{g^{'}(x)}{f(x)}$

例1$$x^{2}y^{'}=x^{2}y^{2}+xy+1$$

解:$$\frac{dy}{dx}=y^{2}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x^{2}}$$

由上述特解形式知:$y_{1}=-\frac{1}{x}$是它一个特解

令$y=z-\frac{1}{x}$

代入原方程得到$$\frac{dz}{dx}=z-\frac{z}{x}$$

有解z=0，当$z≠0$时，

令$$u=z^{-1}$$

方程转化为$$\frac{du}{dx}=\frac{u}{x}-1$$

解得通解为$$u=x(c-ln|x|)$$

所以原方程通解为:

$$y=-\frac{1}{x}，y=-\frac{1}{x}+x(c-ln|x|)$$