比较有意思的一道后缀数组题。(小C最近是和后缀数组淦上了?)

  放在NOI的考场上。O(n^3)暴力80分,O(n^2)暴力95分……

  即使想把它作为一道签到题也不要这么随便啊摔(╯‵□′)╯︵┻━┻

Description

  如果一个字符串可以被拆分为 AABB 的形式,其中 A和 B是任意非空字符串,则我们称该字符串的这种拆分是优秀的。

  例如,对于字符串 aabaabaa,如果令 A=aab,B=a,我们就找到了这个字符串拆分成 AABB的一种方式。

  一个字符串可能没有优秀的拆分,也可能存在不止一种优秀的拆分。比如我们令 A=a,B=baa,也可以用 AABB表示出上述字符串;但是,字符串 abaabaa 就没有优秀的拆分。

  现在给出一个长度为 n的字符串 S,我们需要求出,在它所有子串的所有拆分方式中,优秀拆分的总个数。这里的子串是指字符串中连续的一段。

  以下事项需要注意:

    1.出现在不同位置的相同子串,我们认为是不同的子串,它们的优秀拆分均会被记入答案。

    2.在一个拆分中,允许出现 A=B。例如 cccc 存在拆分 A=B=c。

    3.字符串本身也是它的一个子串。

Input

  每个输入文件包含多组数据。输入文件的第一行只有一个整数 T,表示数据的组数。保证 1≤T≤10。

  接下来 T行,每行包含一个仅由英文小写字母构成的字符串 S,意义如题所述。

Output

  输出 T行,每行包含一个整数,表示字符串 S 所有子串的所有拆分中,总共有多少个是优秀的拆分。

Sample Input

  4
  aabbbb
  cccccc
  aabaabaabaa
  bbaabaababaaba

Sample Output

  3
  5
  4
  7

HINT

  

Solution

  在考场上你只要负责打好95分的O(n^2)的字符串Hash就行了,代码总长只有30行。没有足够的时间和把握去打正解简直是作死。

  如果你有认真思考过这一题,你大概会肯定这题的正解就是后缀数组吧。

  设s[i]为字符串S的后缀,S[i]为字符串S的字符。

  一个很容易想到的结论:对于两个原串上的后缀s[i]、s[j](i<j),如果最长公共前缀LCP(s[i],s[j])>=j-i,那么可以得到一个AA串。

  如下图,i=1,j=3时,LCP(s[1],s[3])=3>3-1,得到AA串"abab"(S[1,4])。

    

  事实上,从上例这个结论还可以找到另外一个AA串"baba"(S[2,5])。

  于是我们发现,当i,j固定时,设len=j-i,Lcp=LCP(s[i],s[j])。

  如果Lcp>=len,我们可以找到从i开始的Lcp-len+1个AA串,A的长度为len,如下图:

    

  于是我们考虑找出所有这样的i、j,显然不可以直接枚举。

  但我们又发现,如果LCP(s[i],s[j])<j-i,那么就一定不存在以S[i]~S[j-1]为开头的AA串。

  那么感觉就可以跳着走?

  考虑枚举A的长度x,即j-i。枚举i,每次把i加上x。

  发现时间复杂度是调和级数,科学得不要不要的。

  但问题来了,只求s[i]、s[j]的LCP肯定是有遗漏的,我们还需要求出前缀p[i]、p[j]的最长公共后缀LCS。(解释见下图)

    

  那么判断存在AA串的条件就变成了Lcs+Lcp>len,可以找到Lcs+Lcp-len个AA串。

  

  问题又来了,如果按这样统计答案的话,一些开头可能会被重复统计。

  但是我们发现如果某一次的 i 还呆在上一次的 i 的Lcp和Lcs扩展出的区域时,它扩展出的区域将会和上一次是完全相同的。

  那么我们果断选择跳过。(如下图)

    

  求LCP的部分用ST表。

  于是我们就O(nlogn)求出了以每个S[i]为开头的AA串的数量。计算答案的思路和O(n^2)的做法是一样的。

  再求出以每个S[i]为结尾的AA串的数量,答案就是相邻两个字符开头数和结尾数相乘的总和……你懂的。

  时间复杂度O(Tnlogn)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define INF 0x3FFFFFFF
#define MS 17
#define MN 30005
using namespace std;
int n,mp[MN],ht[MN],mi[MS],lg[MN]; struct SufArr
{
int sa[][MN],rk[][MN<<],mn[MS][MN<<],p;
bool mul(int* rk,int* sa,int* RK,int* SA,int K)
{
register int i;
for (i=;i<=n;++i) mp[rk[sa[i]]]=i;
for (i=n;i;--i) if (sa[i]>K) SA[mp[rk[sa[i]-K]]--]=sa[i]-K;
for (i=n-K+;i<=n;++i) SA[mp[rk[i]]--]=i;
for (i=;i<=n;++i) RK[SA[i]]=RK[SA[i-]]+(rk[SA[i]]!=rk[SA[i-]]||rk[SA[i]+K]!=rk[SA[i-]+K]);
return RK[SA[n]]==n;
}
void presa(int* a)
{
register int i,j,k;
memset(mp,,sizeof(mp));
for (i=;i<=n;++i) ++mp[a[i]];
for (i=;i<=;++i) mp[i]+=mp[i-];
for (i=;i<=n;++i) sa[][mp[a[i]]--]=i;
for (i=;i<=n;++i) rk[][sa[][i]]=rk[][sa[][i-]]+(a[sa[][i]]!=a[sa[][i-]]);
for (i=p=;i<n;i<<=,p^=) if (mul(rk[p^],sa[p^],rk[p],sa[p],i)) break;
if (i>=n) p^=;
for (i=,j=;i<=n;++i)
{
for (k=sa[p][rk[p][i]-];a[i+j]==a[k+j];++j);
ht[rk[p][i]]=j; if (j) --j;
}
for (i=;i<=n;++i) mn[][i]=ht[i];
for (i=;i<MS;++i)
for (j=;j<=n;++j)
mn[i][j]=min(mn[i-][j],(j+mi[i-]>n?INF:mn[i-][j+mi[i-]]));
}
int getmn(int x,int y)
{
x=rk[p][x]; y=rk[p][y];
if (x>y) swap(x,y);
y=y-x; ++x;
return min(mn[lg[y]][x],mn[lg[y]][x+y-mi[lg[y]]]);
}
}s1,s2;
ll ans;
int a[MN],b[MN],ltg[MN],rtg[MN],lgs[MN],rgs[MN];
char c[MN]; inline int read()
{
int n=,f=; char c=getchar();
while (c<'' || c>'') {if(c=='-')f=-; c=getchar();}
while (c>='' && c<='') {n=n*+c-''; c=getchar();}
return n*f;
} int main()
{
register int i,jl,jr,pre,x,y,T;
T=read();
for (mi[]=,lg[i=]=;i<MS;++i) mi[i]=mi[i-]<<,lg[mi[i]]=i;
for (i=;i<MN;++i) if (!lg[i]) lg[i]=lg[i-];
while (T--)
{
memset(&s1,,sizeof(s1));
memset(&s2,,sizeof(s2));
memset(ltg,,sizeof(ltg));
memset(rtg,,sizeof(rtg));
scanf("%s",c+); n=strlen(c+); ans=;
a[n+]=b[n+]=rgs[n+]=;
for (i=;i<=n;++i) a[i]=c[i]-'a'+; s1.presa(a);
for (i=;i<=n;++i) b[i]=a[n-i+]; s2.presa(b);
for (i=;i<n;++i)
for (jl=i,jr=jl+i,pre=;jr<=n;jl=jr,jr+=i)
{
if (jl<=pre) continue;
y=s1.getmn(jl,jr); x=s2.getmn(n-jl+,n-jr+);
if (x+y>i)
{
++ltg[jl-x+]; --ltg[jl+y-i+];
++rtg[jr+y-]; --rtg[jr-x+i-];
}
pre=jl+y-;
}
for (i=;i<=n;++i) lgs[i]=lgs[i-]+ltg[i];
for (i=n;i>=;--i) rgs[i]=rgs[i+]+rtg[i];
for (i=;i<=n;++i) ans+=1LL*lgs[i]*rgs[i-];
printf("%lld\n",ans);
}
}

Last Word

  又到了愉快的吐槽时间O(∩_∩)O~(你吐槽给谁看呢)

  这题基本就当做后缀数组的模板练习了,理解了模板敲起来就非常轻松了。

  反正正解小C大概是想不到的,大致方向是没有错,可是有时候就是差那么一点点,在深入些就是正解。

  但是离正解只差一步之遥却放弃的人不在少数啊。(但你至少可以拿到暴力分)

  写的时候因为几个数组没清空WA了几个点,后缀数组构建的时候要用到大于n的下标,真讨厌。

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