算法之路（二）呈现O(logN)型的三个算法

典型时间复杂度

我们知道算法的执行效率，可以从它的时间复杂度来推算出一二。而典型的时间复杂度有哪些类型呢？



由上图，可以看出，除了常数时间复杂度外，logN型的算法效率是最高的。今天就介绍三种非常easy的logN型算法。

对分查找

给定一个整数X和整数A0，A1，…，An-1,后者已经预先排序并在内存中，求是的Ai= X的下表i,如果X不在数据中，则返回i = -1.

- (int)BinarySearch:(NSArray *)originArray element:(int)element
{
    int low, mid, high;
    low = 0; high = (int)originArray.count - 1;
    while (low <= high) {
        mid = (low + high) / 2;
        if ([originArray[mid] intValue] < element) {
            low = mid + 1;
        } else if ([originArray[mid] intValue] > element) {
            high = mid -1;
        } else {
            return mid;
        }
    }
    
    return -1;
}

* 分析 ：*通过上面的程序可以看出，要算出时间复杂度，就是求出while循环的次数。

mid 每次的取值分别是数组长度(N-1)/2,(N-1)/2/2,(N-1)/2/2/2,…，1，0，-1。那么只用求出2的多少次方等于N-1，再加上可能的多需要的次数2。假设2的f次方等于N-1，最大时间即为log(N-1) + 2。因此对分查找的时间复杂度为logN。再举一个实际的例子，假设最初high = 128,low = 0,则mid的最大取值为64，32，16，8，4，2，1，0，-1。大家可以计算时间。

欧几里得算法

第二个是计算最大公因数的欧几里得算法。两个整数的最大公因数Gcd是同时整除二者的最大整数。于是，Gcd(50,15) = 5。

- (unsigned int)Gcd:(unsigned int)m n:(unsigned int)n
{
    unsigned int Rem;
    while (n > 0) {
        Rem = m % n;
        m = n;
        n = Rem;
    }
    return m;
}

算法超级简单，但是里面还是有一些精髓的。算法假设m>=n,但是如果m < n，则在第一次while循环后，m和n 会互相交换。

该算法的整个运行时间依赖于确定余数序列的长度，也就是while循环的次数。

依然举例m = 1989 和n = 1590,则余数序列是399，393，6，3，0。从而，Gcd(1989,1590) = 3。

虽然看不出余数的值是按照常数引子递减，有时候递减的非常少，例如从399递减到393。但是，我们可以证明，两次迭代以后，余数最多是原始值的一半。迭代次数至多是2logN,所以时间复杂度是logN。

怎么证明 M > N,则M mod N < M /2呢？

如果N =< M/2,则由于余数小于N，即M mod N < N <= M/2，所以余数也小于M/2。

如果N> M/2，则此时M中有个N，从而余数M-N < M/2。

幂运算

最后一个算法，是计算一个整数的幂。我们可以用乘法的次数作为运行时间的度量。

计算X的N次方常见的算法是使用N-1次乘法自乘。但是用递归算法更好。

- (long)Pow:(long)x n:(unsigned int)n
{
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n == 1) {
        return x;
    }
    
    if ([self isEven:n]) {
        return [self Pow:x * x n:n / 2];
    } else {
        return [self Pow:x * x n:n / 2] * x;
    }
}

- (BOOL)isEven:(unsigned int)n
{
    if (n % 2 == 0) {
        return YES;
    } else {
        return NO;
    }
}

如果N是偶数，则X的N次方 = X的N/2次方乘以X的N/2次方，如果N是奇数，则X的N次方 = X 的（N-1）/2 次方乘以 X的（N-1）/2次方乘以X。

显然，所需要的乘法次数最多是2logN。那么时间复杂度就是logN咯。