刷题记录：LC1997-访问完所有房间的第一天

LC1997-访问完所有房间的第一天

题意

• 这里有 n 个房间，从 0 到 n-1 编号。
• 你每天访问一个房间，第 0 天访问第 0 号房间。
• 接下来，你访问房间的【次序】将根据下面的【规则】决定：
  • 假设某一天，你访问 i 号房间。
  • 如果算上本次访问，访问 i 号房间的次数为【奇数】 ，那么 第二天 需要访问 nextVisit[i] 所指定的房间，其中【0 <= nextVisit[i] <= i 】。注意【0 <= nextVisit[i] <= i】，如果访问次数为【奇数】，我们就要回溯。
  • 如果算上本次访问，访问 i 号房间的次数为【偶数】，那么 第二天 需要访问 (i + 1) mod n 号房间。即，访问下一号房间。
• 求出【访问完所有房间的天数】，模1e9+7。

思路

首先

我们注意到一个事情啊，如果对当前这个房间的访问次数为奇数，那么明天就必须返回更小的房间；如果对当前房间的访问次数为偶数，明天才能堪堪访问紧邻的下一号房间，这样一点一点往前爬。

所以不难想到，【访问完所有房间的天数】就是【访问最后一个房间的天数】。

然后

• 设 dp[i] 为【第一次访问 i 号房间的天数】。
• 如果在 dp[i] 这一天第一次访问 i 号房间，那么【i-1 号房间的访问次数】应该是偶数，只有这样才能从 i-1 爬到 i。
• 那么，我们怎么从 i-2 爬到 i-1的呢？i-2 号房间的访问次数，也需要是偶数。
• i-3、i-4、……。为了爬到 i 号房间，以前所有房间的访问次数，都需要是偶数。
• 在 dp[i]+1 这一天，我们返回了 nextVisit[i] 号房间。如果 nextVisit[i]≠i 即 nextVisit[i]＜i，除了 i 和 nextVisit[i] 号房间的访问次数是奇数，其他房间全是偶数（包括0次，未访问）。
• 请集中精神仔细看，关键来了：
• 我们现在的情况，像不像【刚刚访问 nextVisit[i] 号房间】的情况？也是 nextVisit[i] 刚刚变成奇数，其他房间都是偶数。i＞nextVisit[i]，对接下来爬到 nextVisit[i]+1 毫无影响。不能说是很像，只能说一模一样！
• 如果我们想从 i 爬到 i+1，我们需要第二次访问 i 号房间，即，从 nextVisit[i] 爬到 i。我们已经经历一遍这个过程了，就是在第一次访问 i 号房间，从 nextVisit[i] 爬到 i 的过程。
• 因此，这一段过程需要 dp[i]-dp[nextVisit[i]] 的天数，直接相减。
• 此时，我们已经第二次到达 i 号房间。再花最后一天爬到 i+1 号房间，我们就又往前进了一步。
• 总结整个过程：爬到 i，dp[i] 天；从 i 到 nextVisit[i]，1 天；从 nextVisit[i] 再次到 i，dp[i]-dp[nextVisit[i]] 天；从 i 到 i+1，1 天。
• 得到递推方程：dp[i+1]=dp[i]+1+dp[i]-dp[nextVisit[i]]+1。
• 整理：dp[i+1]=2*dp[i]-dp[nextVisit[i]]+2。
• 别急，还有一种情况哦：如果 nextVisit[i]=i 怎么办？公式变成dp[i+1]=dp[i]+2，用 dp[i] 天到达 i，花一天时间原地打转，再花一天时间前进一步，公式也没问题。
• 所以就 ok 了！

另一种神乎其技的解法

• 设 f[i] 为【从 第一次访问 i 到 第一次访问 i+1】的天数，即 dp[i+1]-dp[i]。
• 我们在 dp[i] 这一天访问了 i，下一天会回到 j=nextVisit[i]。我们已经知道，情况和【第一次访问 j=nextVisit[i]】一模一样。
• 所以，从 j 爬到 j+1，需要 f[j] 天。爬到 j+1 后，j+1 的访问次数变成奇数，而 j 因为【要往前爬】变成偶数。此时，是不是又和【第一次访问 j+1】一模一样了？
• 所以，从 j+1 爬到 j+2，需要 f[j+1] 天。接下来到 j+3，需要 f[j+2] 天。……。接下来到 i，需要 f[i-1] 天。
• 我们得到了什么结论？从 j=nextVisit[i] 再次爬到 i，需要 \(\sum_{k=j}^{i-1}f[k]\) 天。加上从 i 到 j=nextVisit[i] 的 1 天、第二次到 i 后再进一步的 1 天，【从 第一次访问 i 到 第一次访问 i+1】需要 \(2+\sum_{k=j}^{i-1}f[k]\) 天。
• 我们得到了递推方程：\(f[i]=2+\sum_{k=j}^{i-1}f[k]\)。
• 求和，可以用前缀和去优化。设 \(sum[i]=\sum_{k=0}^{i-1}f[i]\)，则sum[i+1]-sum[i]=f[i]=2+sum[i]-sum[j]=2+sum[i]-sum[nextVisit[i]]。
• 整理一下：sum[i+1]=2*sum[i]-sum[nextVisit[i]]+2。好家伙，这不就是那个 dp 的递推公式吗？原来 sum 就是 dp！
• sum 就是 dp 的考证：我们在第0天访问了 0 号房间。要去访问 i 号房间，天数为 0+【从第一次访问 0 到第一次访问 1，f[0]】+【从第一次访问 1 到第一次访问 2，f[1]】+……+【从第一次访问 i-1 到第一次访问 i，f[i-1]】，可不就是sum[i]嘛！
• 现在，我们已经完整地了解了，该题的两套解法。