2021.12.08 P1848 [USACO12OPEN]Bookshelf G（线段树优化DP）

2021.12.08 P1848 [USACO12OPEN]Bookshelf G（线段树优化DP）

https://www.luogu.com.cn/problem/P1848

题意：

当农夫约翰闲的没事干的时候，他喜欢坐下来看书。多年过去，他已经收集了 N 本书 (1 <= N <= 100,000)， 他想造一个新的书架来装所有书。

每本书 i 都有宽度 W(i) 和高度 H(i)。书需要按顺序添加到一组书架上；比如说，第一层架子应该包含书籍1 ... k，第二层架子应该以第k + 1本书开始，以下如此。每层架子的总宽度最大为L（1≤L≤1,000,000,000）。每层的高度等于该层上最高的书的高度，并且整个书架的高度是所有层的高度的总和，因为它们都垂直堆叠。

请帮助农夫约翰计算整个书架的最小可能高度。

有N(1 <= N <= 100000)本书，每本书有一个宽度W(i)，高度H(i)，(1 <= H(i) <= 1,000,000; 1 <= W(i) <= L)。

现在有足够多的书架，书架宽度最多是L (1 <= L <= 1,000,000,000)，把书按顺序（先放1，再放2.....）放入书架。某个书架的高度是该书架中所放的最高的书的高度。

将所有书放入书架后，求所有书架的高度和的最小值？

分析：

对于前 \(i\) 本书放在书架上需要的高度为 \(f_i\) 。

设 \(sum_i\) 为前 \(i\) 本书宽度 \(w_j(j\in j<=i)\) 之和，则

\[f_i=\min(f_{j-1}+\max(f_{j},f_{j+1},\cdots,f_i))\\
j\in sum_i-sum_{j-1}<=L
\]

对于第 \(i\) 本书，存在 \(pos_i\) 使得 \(pos_i\) 是 \(i\) 最左侧的一本书满足 \(h_{pos_i}>=h_i\) 。对于第 \(pos_i+1\) 本书到到第 \(i\) 本书之间最大值为 \(h_i\) 。

建一棵线段树，可区间修改（修改 \(pos_i+1\) 到 \(i\) 的值为 \(h_i\) ）、区间查询（查询 \(j\) 到 \(i\) 之间 \(f_{j-1}+\max(f_{j},f_{j+1},\cdots,f_i)\) 最小值）、单点修改（对于每个点要初始化）。

初始化的时候对于每个点 \(i\) ，因为必须要满足 \(i\) 前所有点依旧满足条件，所以每个叶子结点的含义就是以 \(i\) 为分界点，\(f_{i-1}+\max(f_i,f_{i+1},\cdots,f_{要查询的点})\) ，而且每次更新的区间的值为 \(h_i\) ，这个值会不断覆盖以前更新过的值，但是保证最优因为被更新的区间的值都比 \(h_i\) 小，且不存在 \(j\) 满足 \(h_j>h_i\) 且 \(pos_i+1<=j<=i\) 。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<stack>
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;

#define int long long
typedef long long ll;
const ll inf=1e18;
const int N=1e5+10;
int n,L,h[N],w[N],pos[N],sum[N];
ll f[N],lazy[N<<2],val[N<<2],tot[N<<2];
stack<int>s;

inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-')w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch<='9'&&ch>='0'){
		s=s*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return s*w;
}
inline void update(int x){
	tot[x]=min(tot[x<<1],tot[x<<1|1]);
	val[x]=min(val[x<<1],val[x<<1|1]);
}
inline void pushdown(int x){
	if(lazy[x]==inf)return ;
	tot[x<<1]=val[x<<1]+lazy[x];
	tot[x<<1|1]=val[x<<1|1]+lazy[x];
	lazy[x<<1]=lazy[x<<1|1]=lazy[x];
	lazy[x]=inf;
}
inline void build(int x,int l,int r){
	tot[x]=val[x]=lazy[x]=inf;
	if(l==r)return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(x<<1,l,mid);
	build(x<<1|1,mid+1,r);
}
inline void changeline(int x,int l,int r,int L,int R,int k){
	if(l>R||r<L)return ;
	if(l>=L&&r<=R)return (void)(tot[x]=val[x]+k,lazy[x]=k);
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(mid>=L)changeline(x<<1,l,mid,L,R,k);
	if(R>mid)changeline(x<<1|1,mid+1,r,L,R,k);
	update(x);
}
inline void changespot(int x,int l,int r,int k){
	if(l==r)return (void)(tot[x]=inf,val[x]=f[l-1]);
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(k<=mid)changespot(x<<1,l,mid,k);
	if(k>mid)changespot(x<<1|1,mid+1,r,k);
	update(x);
}
inline ll query(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(l>R||r<L)return inf;
	if(l>=L&&r<=R)return tot[x];
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	ll ans=inf;
	if(L<=mid)ans=min(ans,query(x<<1,l,mid,L,R));
	if(R>mid)ans=min(ans,query(x<<1|1,mid+1,r,L,R));
	return ans;
}

signed main(){
	n=read();L=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=read(),w[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+w[i];
	s.push(1);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		while(!s.empty()&&h[i]>h[s.top()])s.pop();
		if(!s.empty())pos[i]=s.top();
		s.push(i);
	}
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		changespot(1,1,n,i);
		if(pos[i]<i)changeline(1,1,n,pos[i]+1,i,h[i]);
		int Li=lower_bound(sum,sum+i+1,sum[i]-L)-sum;
		int Ri=i;
		if(Li<Ri)f[i]=query(1,1,n,Li+1,Ri);
	}
	cout<<f[n];
	return 0;
}