loj2540 「PKUWC 2018」随机算法

pkusc 快到了……做点题涨涨 rp。

记 \(f(S,i)\) 表示 \(S\) 这个集合是决计不能选的（要么属于独立集，要么和独立集相连），或称已经考虑了的，\(i\) 表示此集合对应的最大独立集大小。那么枚举一下哪些点 \(j\) 不在 \(S\) 里，记 \(w_i\) 表示 \(i\) 和与之相邻的点集，则 \(f(S \cup w_j,i+1) \leftarrow f(S \cup w_j,i+1) + f(S,i) \times A_{n-|S|-1}^{|w_j-(w_j \cap S)|-1}\)。

然而对于一个集合 \(S\)，它的最大独立集大小是确定的，那么就来一个数组 \(mx_S\) 来记录其最大独立集大小。当最大独立集大小更新之时，\(dp_S\) 就清零然后再计数就行了。复杂度从 \(O(\)跑得过\()\) 变成了 \(O(\)更跑得过\()\)，也就是\(O(n^22^n)\) 变成了 \(O(n2^n)\)……。

改进前：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, m, w[25], uu, vv, jie[25], inv[25], dp[25][1050005], cnt[1050005];
const int mod=998244353;
int A(int x, int y){
	// if(x<y)	return 0;
	return (ll)jie[x]*inv[x-y]%mod;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=m; i++){
		scanf("%d %d", &uu, &vv);
		uu--; vv--;
		w[uu] |= 1<<vv;
		w[vv] |= 1<<uu;
	}
	jie[0] = jie[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
	for(int i=2; i<=n; i++){
		jie[i] = (ll)jie[i-1] * i % mod;
		inv[i] = (ll)(mod - mod / i) * inv[mod%i] % mod;
	}
	for(int i=0; i<n; i++)
		w[i] |= 1<<i;
	for(int i=2; i<=n; i++)
		inv[i] = (ll)inv[i-1] * inv[i] % mod;
	for(int i=0; i<(1<<n); i++)
		for(int j=0; j<n; j++)
			if(i&(1<<j))
				cnt[i]++;
	dp[0][0] = 1;
	for(int i=0; i<n; i++)
		for(int s=0; s<(1<<n); s++)
			if(dp[i][s])
				for(int j=0; j<n; j++)
					if(!(s&(1<<j)))
						dp[i+1][s|w[j]] = (dp[i+1][s|w[j]] + (ll)dp[i][s] * A(n-cnt[s]-1, cnt[w[j]-(w[j]&s)]-1)%mod) % mod;
	for(int i=n; i; i--)
		if(dp[i][(1<<n)-1]){
			cout<<(ll)dp[i][(1<<n)-1]*inv[n]%mod<<endl;
			return 0;
		}
	return 0;
}

改进后：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, m, w[25], uu, vv, jie[25], inv[25], dp[1050005], cnt[1050005];
int mx[1050005];
const int mod=998244353;
int A(int x, int y){
	// if(x<y)	return 0;
	return (ll)jie[x]*inv[x-y]%mod;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=m; i++){
		scanf("%d %d", &uu, &vv);
		uu--; vv--;
		w[uu] |= 1<<vv;
		w[vv] |= 1<<uu;
	}
	jie[0] = jie[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
	for(int i=2; i<=n; i++){
		jie[i] = (ll)jie[i-1] * i % mod;
		inv[i] = (ll)(mod - mod / i) * inv[mod%i] % mod;
	}
	for(int i=0; i<n; i++)
		w[i] |= 1<<i;
	for(int i=2; i<=n; i++)
		inv[i] = (ll)inv[i-1] * inv[i] % mod;
	for(int i=0; i<(1<<n); i++)
		for(int j=0; j<n; j++)
			if(i&(1<<j))
				cnt[i]++;
	dp[0] = 1;
	for(int s=0; s<(1<<n); s++)
		if(dp[s])
			for(int i=0; i<n; i++)
				if(!(s&(1<<i))){
					int t=s|w[i];
					if(mx[t]<mx[s]+1)	mx[t] = mx[s] + 1, dp[t] = 0;
					if(mx[t]==mx[s]+1)
						dp[t] = (dp[t] + (ll)dp[s] * A(n-cnt[s]-1, cnt[w[i]-(w[i]&s)]-1)%mod) % mod;
				}
	cout<<(ll)dp[(1<<n)-1]*inv[n]%mod<<endl;
	return 0;
}