【bzoj3191】[JLOI2013]卡牌游戏 概率dp

题目描述

n个人围成一圈玩游戏，一开始庄家是1。每次从m张卡片中随机选择1张，从庄家向下数个数为卡片上的数的人，踢出这个人，下一个人作为新的庄家。最后一个人获胜。问每个人获胜的概率。

输入

第一行包括两个整数N,M分别表示玩家个数和卡牌总数。

接下来一行是包含M个整数，分别给出每张卡片上写的数字。

输出

输出一行包含N个百分比形式给出的实数，四舍五入到两位小数。分别给出从玩家1到玩家N的胜出概率，每个概率之间用空格隔开，最后不要有空格。

样例输入

5 5
2 3 5 7 11

样例输出

22.72% 17.12% 15.36% 25.44% 19.36%

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题解

概率dp

设$f[i][j]$表示$i$个人游戏$j$获胜的概率，那么考虑转移：

枚举选择了哪张卡片，然后看$j$是否被踢出，如果没被踢出则再计算它是新一局游戏的第几个即可。

算第几个时略微有点复杂，可以在纸上画画，推一下可知如果踢出$t$，那么新一轮$j$的位置为$(j-t+i-1)\%i+1$。

即状态转移方程为$f[i][j]=\sum\limits_{k=1}^m[t\neq j]·\frac{f[i - 1][(j-t+i-1)\%i+1]}m$。

最后的答案就是$f[n][i]$，注意格式问题，最后不能有空格。

时间复杂度$O(n^3)$

#include <cstdio>
#define N 55
double f[N][N];
int a[N];
int main()
{
	int n , m , i , j , k , t;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]);
	f[1][1] = 100;
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= i ; j ++ )
			for(k = 1 ; k <= m ; k ++ )
				if((t = (a[k] - 1) % i + 1) != j)
					f[i][j] += f[i - 1][(j - t + i - 1) % i + 1] / m;
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) printf("%.2lf%% " , f[n][i]);
	printf("%.2lf%%\n" , f[n][n]);
	return 0;
}