P4402 [Cerc2007] robotic sort 机械排序题解

题目链接：[Cerc2007] robotic sort 机械排序

前置知识点：文艺平衡树

具体的我们会将序号下标作为平衡树的键值，这样一来每个节点其实就是数组中的每个位置，又因为这个位置是具有有序性的，所以我要找某个位置的当前值是可以在树上二分出来的，同时考虑平衡树的一段子树打翻转标记，交换左右子树，我们会发现，这一棵子树如果全部翻转以后，会变为逆序。实现了区间翻转的功能。证明也很简单，考虑中序遍历，其实中序遍历这种文艺平衡树就可以获得原来的数组，而中序遍历的顺序是中、左、右。那么我们调换左右位置，变成中、右、左的遍历方式，很显然，就是原数组的逆序了。

考虑这题所说的最开始的情况，我们显然需要将原数组进行换下标，因为会存在重复值，否则如果是 \(1\sim n\) 的排列，都不需要怎么变了。那么我们可以考虑建一棵这样的数：它的键值为区间下标，它的节点同时维护下标对应的数组值。我们注意到操作都需要找到当前区间内最小的数组值。由于我们维护的是下标作为平衡树的键值，想要直接找到最小的数组值显然不具备二分性，考虑处理成可以二分的东西。

对于区间问题。我们要求的问题常常是不具备二分的单调性，但我们可以考虑处理一些具有二分性质的信息进行辅助。比如常见的有：区间 gcd、区间 lcm、区间 max、区间 min之类的。对于本题而言，我们可以考虑处理出子树 min，而左子树则表示左区间，右子树则是右区间，这样一来我们就可以树上二分出当前平衡树中第一个出现最小值的地方了。

本题的翻转操作给的很有意思，我们观察发现，第 \(i\) 次翻转会使得最小值落到了第 \(i\) 个位置，而这个最小值是需要从平衡树中删除，因为它不参加后续的查询了。所以我们有了以下的思路，每次查询出最小值所在平衡树的位置，然后翻转 \([1,pos_{min}]\)，然后删掉第 \(1\) 个位置的值，其实就是最小下标值。新的平衡树它维护的范围就是 \([i+1,n]\) 的最小值情况了。而题目的信息很明确，下一次操作的翻转区间是在 \([i+1,pos_{nxtMin}]\) 上，即只会出现在这个新的平衡树上。所以删除并不会影响后续操作。实际上这个操作是很严格的，并不容易拓展到一般的任意翻转和删除。查询出该数在新数组中的下标以后还需要加上之前删除的数才是真正的位置。第 \(i\) 次操作已经删除了 \(i-1\) 个数。

具体的我们将原来的值带下标稳定排序以后，构造出新的无重复值的 \(1 \sim n\) 的排列，然后文艺平衡树将维护这个数组。稳定排序是根据题目所说的相同值，按照原序列输入。

细节

平衡树维护信息和线段树大同小异，但要注意的是，每个节点维护的信息不止需要左右子树还需要当前节点自身的信息共同维护。然后我们建树可以类似笛卡尔树的建树方式 \(O(n)\) 建树。

\[\text{时间复杂度显然为 } O(n\log{n})
\]

FHQ实现文艺平衡树参考代码

#include <bits/stdc++.h>

//#pragma GCC optimize("Ofast,unroll-loops")

#define isPbdsFile

#ifdef isPbdsFile

#include <bits/extc++.h>

#else

#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>

#endif

using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};

template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
    return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}

template <typename T>
T lowBit(T x)
{
    return x & -x;
}

template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
    static mt19937 Rand(time(nullptr));
    uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
    return dis(Rand);
}

template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
    return (a % b + b) % b;
}

template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
    a %= c;
    T1 ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)if (b & 1)(ans *= a) %= c;
    return modt(ans, c);
}

template <typename T>
void read(T& x)
{
    x = 0;
    T sign = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch == '-')sign = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    x *= sign;
}

template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
    read(x);
    read(y...);
}

template <typename T>
void write(T x)
{
    if (typeid(x) == typeid(char))return;
    if (x < 0)x = -x, putchar('-');
    if (x > 9)write(x / 10);
    putchar(x % 10 ^ 48);
}

template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
    write(x), putchar(c);
    write(c, y...);
}

template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
    T11 one;
    T22 tow;
    T33 three;

    bool operator<(const T3 other) const
    {
        if (one == other.one)
        {
            if (tow == other.tow)return three < other.three;
            return tow < other.tow;
        }
        return one < other.one;
    }

    T3() { one = tow = three = 0; }

    T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
    {
    }
};

template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
    if (x < y)x = y;
}

template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
    if (x > y)x = y;
}

constexpr int N = 1e5 + 10;
pii a[N];

struct FHQ
{
    int left, right; //左右子树
    int val, rnk; //节点值,节点的堆rnk
    int min, siz, rev; //树最小值,树的节点个数,是否翻转
} node[N];

#define left(x) node[x].left
#define right(x) node[x].right
#define val(x) node[x].val
#define rnk(x) node[x].rnk
#define siz(x) node[x].siz
#define rev(x) node[x].rev
#define mi(x) node[x].min

inline void push_up(const int curr)
{
    siz(curr) = siz(left(curr)) + siz(right(curr)) + 1;
    mi(curr) = min({val(curr),mi(left(curr)),mi(right(curr))});
}

inline void push_down(const int curr)
{
    if (rev(curr))
    {
        swap(left(curr),right(curr));
        rev(left(curr)) ^= 1;
        rev(right(curr)) ^= 1;
        rev(curr) = 0;
    }
}

//左子树<=k,右子树>k
inline void split(const int curr, const int k, int& x, int& y)
{
    if (!curr)
    {
        x = y = 0;
        return;
    }
    push_down(curr);
    if (k <= siz(left(curr)))split(left(curr), k, x, left(y=curr));
    else split(right(curr), k - siz(left(curr)) - 1, right(x=curr), y);
    push_up(curr);
}

inline int merge(const int x, const int y)
{
    if (!x or !y)return x ^ y;
    if (rnk(x) < rnk(y))
    {
        push_down(x);
        right(x) = merge(right(x), y);
        push_up(x);
        return x;
    }
    push_down(y);
    left(y) = merge(x,left(y));
    push_up(y);
    return y;
}

//子树min为连续单调不减的,可以二分出第一个==min的位置,返回值为序号在它之前的节点个数
inline int binary(const int curr)
{
    push_down(curr);
    if (mi(left(curr)) == mi(curr))return binary(left(curr));
    if (val(curr) == mi(curr))return siz(left(curr));
    return binary(right(curr)) + siz(left(curr)) + 1;
}

int root;
int n;
int st[N], stCnt;
int cnt;
int idx[N];

int newNode(const int val)
{
    cnt++;
    val(cnt) = mi(cnt) = idx[val];
    siz(cnt) = 1;
    rnk(cnt) = Rand(1,INT_MAX);
    return cnt;
}
//笛卡尔树优化建树思想
inline void build()
{
    forn(i, 1, n)
    {
        int last = 0;
        int x = newNode(i);
        while (stCnt and rnk(st[stCnt]) > rnk(x))push_up(last = st[stCnt--]);
        if (stCnt)
            right(st[stCnt]) = x;
        left(x) = last, st[++stCnt] = x, push_up(x);
    }
    while (stCnt)push_up(st[stCnt--]);
    root = st[1];
}

inline void Del()
{
    int lTree, rTree;
    split(root, 1, lTree, rTree); //删掉开头的点
    root = rTree;
}

inline void Rev(const int pos)
{
    int lTree, rTree;
    split(root, pos, lTree, rTree); //lTree [1,pos]
    rev(lTree) ^= 1;
    root = merge(lTree, rTree);
}

inline void solve()
{
    cin >> n;
    mi(0) = INT_MAX;
    forn(i, 1, n)cin >> a[i].first, a[i].second = i;
    stable_sort(a + 1, a + n + 1);
    forn(i, 1, n)idx[a[i].second] = i;
    build();
    forn(i, 1, n)
    {
        int pos = binary(root) + 1;
        Rev(pos);
        Del();
        cout << pos + i - 1 << " ";
    }
}

signed int main()
{
    Spider
    //------------------------------------------------------
    int test = 1;
    //    read(test);
    // cin >> test;
    forn(i, 1, test)solve();
    //    while (cin >> n, n)solve();
    //    while (cin >> test)solve();
}