Odd and Even Zeroes 题解

前言

题目链接：洛谷；UVA。

题目简述

定义 $\operatorname{count}(num)$ 表示 $num$ 末尾 $0$ 的个数。给出 $n$（$n \leq 10^{18}$），求 $\sum \limits _ {i = 0} ^ {n} [2 \mid \operatorname{count}(i!)]$。

题目分析

对于一个 $i$，以下记成 $n$。

$n!$ 末尾 $0$ 的个数取决于 $1 \sim n$ 中 $2$ 的幂次之和和 $5$ 的幂次之和的最小值。又由于 $2$ 的幂次肯定超过 $5$ 的幂次之和，参见以下证明：

证明：

$1 \sim n$ 中，$2$ 的倍数都至少贡献了 $1$，$4$ 的倍数在此基础上，又多贡献了一个 $1$，以此类推。于是，$1 \sim n$ 中，$2$ 的幂次之和为：

\[\sum _ {i = 1} ^ {\infty} \Big \lfloor \cfrac{n}{2 ^ i} \Big \rfloor
\]

对于 $5$ 同理：

\[\sum _ {i = 1} ^ {\infty} \Big \lfloor \cfrac{n}{5 ^ i} \Big \rfloor
\]

对于每一位考虑。$\forall i$，$\Big \lfloor \cfrac{n}{2 ^ i} \Big \rfloor \geq \Big \lfloor \cfrac{n}{5 ^ i} \Big \rfloor$，所以 $\sum \limits _ {i = 1} ^ {\infty} \Big \lfloor \cfrac{n}{2 ^ i} \Big \rfloor \geq \sum \limits _ {i = 1} ^ {\infty} \Big \lfloor \cfrac{n}{5 ^ i} \Big \rfloor$。证毕。

那么，末尾 $0$ 的个数等于 $1 \sim n$ 中 $5$ 的幂次之和。

\[\operatorname{count}(n!) = \sum _ {i = 1} ^ {\infty} \Big \lfloor \cfrac{n}{5 ^ i} \Big \rfloor
\]

那么答案有：

\[ans = \sum _ {i = 0} ^ {n} \Bigg [ 2 \mid \sum _ {j = 1} ^ {\infty} \Big \lfloor \cfrac{i}{5 ^ j} \Big \rfloor \Bigg ]
\]

发现把 $i$ 用 $5$ 进制表示成 $i = \overline{x_mx_{m-1}\ldots x_0}$，那么 $\Big \lfloor \cfrac{}{5^j} \Big \rfloor$ 就是 $5$ 进制下的移位。也即 $\Big \lfloor \cfrac{i}{5^j} \Big \rfloor = \overline{x_mx_{m-1}\ldots x_j}$。我们只关心这个式子的奇偶性。拆开：$\overline{x_mx_{m-1}\ldots x_j} = \sum \limits _ {k = j} ^ {m} 5 ^ {k - j} x_k$，而 $5 \bmod 2 = 1$，故上式与 $\sum \limits _ {k = j} ^ {m} x_k$ 同奇偶。接下来继续化式子。

\[\begin{aligned}
ans &= \sum _ {i = 0} ^ {n} \Bigg [ 2 \mid \sum _ {j = 1} ^ {\infty} \Big \lfloor \cfrac{i}{5 ^ j} \Big \rfloor \Bigg ] \\
&= \sum _ {i = 0} ^ {n} \Bigg [ 2 \mid \sum _ {j = 1} ^ {m} \sum \limits _ {k = j} ^ {m} x_k \Bigg ] \\
&= \sum _ {i = 0} ^ {n} \Bigg [ 2 \mid \sum _ {j = 1} ^ {m} x_j \times j \Bigg ] \\
&= \sum _ {i = 0} ^ {n} \Bigg [ 2 \mid \sum _ {j = 1 \land j \bmod 2 = 1} ^ {m} x_j \Bigg ] \\
\end{aligned}
\]

也即，$n!$ 某位有偶数个 $0$，等价于其在 $5$ 进制表示下，奇数位的和能否被 $2$ 整除。答案就是 $0 \sim n$ 中，在 $5$ 进制表示下，奇数位的和能被 $2$ 整除的数字的个数。这个使用数位 DP 即可。状态记录剩余几位、目前奇数位的和被 $2$ 除的余数。

代码

#include <cstdio>

long long n, f[30][2];

int yzh[30], len;

long long dp(int len, bool limit, bool sum) {

	if (!~len) return !sum;

	if (!limit && f[len][sum]) return f[len][sum];

	long long res = 0;

	for (int i = limit ? yzh[len] : 4; ~i; --i)

		res += dp(len - 1, limit && i == yzh[len], (len & 1) ? (sum ^ (i & 1)) : sum);

	if (!limit) f[len][sum] = res;

	return res;

}

inline long long solve() {

	for (len = -1; n; yzh[++len] = n % 5, n /= 5);

	return dp(len, true, 0);

}

signed main() {

	while (scanf("%lld", &n), ~n) printf("%lld\n", solve());

	return 0;

}