[题解]P4116 Qtree3

P3925 aaa被续

题目描述没看懂（雾）

简单解释一下：

对于节点\(u\)，将子树\(u\)中的权值从大到小排序，记“权值乘排名之和”为\(u\)的贡献。

输出总贡献。

---

下文定义\(w[u]\)为\(u\)的权值，\(siz[u]\)为子树\(u\)的大小。

考虑每个节点对答案的贡献，看起来比较困难。

转而考虑每个权值对答案的贡献。

不难发现，如果将子树\(u\)中的节点按权值从大到小排序，那么这些点的排名依次是\(siz[u],siz[u]-1,\dots,1\)。

所以我们按权值从大到小遍历每个节点。需要统计它的贡献的节点，就是它到根节点路径上的所有节点。

遍历这些节点，在\(v\)点累加的贡献是\(siz[v]\times w[u]\)，并且将\(siz[v]\)减去\(1\)。

这样，\(siz[v]\)表示的始终是\(u\)在子树\(v\)中的排名。因为我们的节点是按权值从大到小统计的。

因此我们需要支持的操作：

• 将\(u\)到根节点路径上的\(siz\)统一减去\(1\)。
• 统计\(u\)到根节点的\(siz\)之和（将所求的和\(\times w[u]\)累入答案即可）。

可以用树剖实现。

时间复杂度\(O(n\log^2 n)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+10,P=1e9+7;
int n,head[N],fa[N],dep[N],siz[N],son[N],top[N],dfn[N],tim,w[N],idx;
ll ans;
struct edge{int nxt,to;}e[N<<1];
void add(int u,int v){e[++idx]={head[u],v},head[u]=idx;}
inline int lb(int x){return x&-x;}
struct BIT{
	int s1[N],s2[N];
	void chp(int x,int v){
		for(int i=x;i<=n;i+=lb(i)) s1[i]+=v,s2[i]+=v*x;
	}
	void chr(int x,int y,int v){
		chp(x,v),chp(y+1,-v);
	}
	int query(int x){
		int ans=0;
		for(int i=x;i;i-=lb(i)) ans+=(x+1)*s1[i]-s2[i];
		return ans;
	}
	int query(int x,int y){
		return query(y)-query(x-1);
	}
}bit;
struct Node{
	int p,w;
}p[N];
void dfs1(int u){
	siz[u]=1,dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa[u]) continue;
		fa[v]=u,dfs1(v),siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]]) son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t){
	top[u]=t,dfn[u]=++tim,bit.chr(dfn[u],dfn[u],siz[u]);
	if(!son[u]) return;
	dfs2(son[u],t);
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(v!=fa[u]&&v!=son[u]) dfs2(v,v);
	}
}
void ch_chain(int u,int v,int iv){
	while(top[u]!=top[v]){
		if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
		bit.chr(dfn[top[u]],dfn[u],iv);
		u=fa[top[u]];
	}
	if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
	bit.chr(dfn[v],dfn[u],iv);
}
ll query(int u,int v){
	ll ans=0;
	while(top[u]!=top[v]){
		if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
		ans+=bit.query(dfn[top[u]],dfn[u]);
		ans%=P;
		u=fa[top[u]];
	}
	if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
	ans+=bit.query(dfn[v],dfn[u]);
	return ans%P;
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1,u,v;i<n;i++) cin>>u>>v,add(u,v),add(v,u);
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i],p[i]={i,w[i]};
	dfs1(1),dfs2(1,1);
	sort(p+1,p+1+n,[](Node a,Node b){return a.w>b.w;});
	for(int i=1;i<=n;i++){
		(ans+=query(1,p[i].p)%P*p[i].w)%=P;
		ch_chain(1,p[i].p,-1);
	}
	cout<<ans<<"\n";
	return 0;
}