牛顿迭代法的理解与应用( x 的平方根)
题目来源与LeetCode算法题中的第69题,具体内容如下(点击查看原题):
实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根,其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数,结果只保留整数的部分,小数部分将被舍去。
在本题的力扣官方题解中,第一次了解牛顿法,也被称为牛顿迭代法,说实话,一开始看到题解中直接给出的公式是懵逼的,公式如下:
$x_{k+1}=\frac{1}{2}\left [ x_{k}+\frac{x}{x_{k}} \right ]$
主要来写一下这个公式的简要推倒过程:
因为不是很会Matlab,在这里借另一个题解中老哥的图一用,个人认为这张图能说明地非常清楚的:
假设输入的值为2,则需要求解的方程即为:
$x^{2}-2=0$
先随便取函数上的一个点,则能表示出在这点处的切线方程,并根据此切线方程,求出此方程与 $y=0$ 的交点,再根据这个交点的 $x$ 值求出原方程在这个点上的切线方程,并不断重复,可以发现,每次算得的与 $x$ 轴的交点值与实际方程的解越来越接近。当我们做更多次的循环,就能获得一个更接近实际值的解。
那当我们输入的值为 $a$ 时,需要求解的公式即为:
$x^{2}-a=0$
此时经过函数任意一点的斜率即为$2x$,设 $x$ 取值为 $x_{0}$ ,则经过 $x_{0}$ 点的切线方程可以表示为:
$y-f\left ( x_{0} \right )=2x_{0}\left ( x-x_{0} \right )$
根据这个方程与 $y=0$ 的交点 $x$ 则为一个更接近实际值的取值,可以表示为:
$x=x_{0}-\frac{f\left ( x_{0} \right )}{2x_{0}}$
当不考虑本题,一个更普适的牛顿迭代法的关系式可以表示为:
$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left ( x_{n} \right )}{f^{'}\left ( x_{n} \right )}$
而针对本题,将题目中的方程带入公式,就可以得出文初题解中给出的公式,即:
$x_{k+1}=\frac{1}{2}\left ( x_{k}+\frac{a}{x_{k}} \right )$
最后只需要根据本题的精度,设置一个满足这个精度的循环的跳出条件即可完成此题的算法实现,这里直接贴上了力扣给出的题解代码(注:原题解中少了一个return,在这里已经加上去了):
class Solution {
public int mySqrt(int x) {
if (x < 2) return x; double x0 = x;
double x1 = (x0 + x / x0) / 2.0;
while (Math.abs(x0 - x1) >= 1) {
x0 = x1;
x1 = (x0 + x / x0) / 2.0;
} return (int)x1;
}
}
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