Bugs Integrated, Inc.

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给出一个\(n\times m\)的矩形网格图，给出其中K个障碍物的位置，求其中最多能摆的\(2\times 3\)的矩形的个数，\(n\leq 150,m\leq 10\)。

解

注意到m的数据范围很小，在这里进行进制压缩，而n进行对每一行的处理，设\(f[i][j]\)表示前i行第i行状态为j的方案数，注意到，\(2\times 3\)的矩形可以有3个长度，于是仅靠二进制是不够表现状态的，于是j是一个三进制数表示，其中2表示这个格子控制下面的2格，1表示1格，0表示没有，不难有\(2\times 3\)矩形为下图所示

2 2
1 1
0 0

1 1 1
0 0 0

不难得知最多只有\(3^{10}=59049\)，显然是会超时的，于是考虑剪枝，首先预处理出每一行合法的用\(3\times 1,2\times 1\)的矩形填充的状态，这样的个数经过测试最多只有\(1278\)多个，所以这样枚举大概只有\(1278^2\times 150=244992600\)，显然还是会超时，于是转移的时候不能枚举非法状态，于是用dfs转移继续剪枝，所以每个状态下远远不会有\(1278\)个，而经过测试，无棋子的棋盘上一个状态可以更新的状态只有326个，所以时间复杂度估计也就只有\(150\times 1278\times 326=62494200\)，应该是可以通过的。

因为空间卡的太死，所以要滚动数组转移，具体实现看代码。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
bool M[151][25];
int base[20],x,m,f,a[200][2000],
    at[200],dp[2][60000],tot;
il void read(int&);il int max(int,int);
void dfs1(int,int),dfs2(int,int,int);
int main(){
    int lsy;read(lsy),base[0]=1;
    for(int i(1);i<=19;++i)base[i]=base[i-1]*3;
    while(lsy--){
        int n,K,l;read(n),read(m),read(K);
        memset(M,1,sizeof(M)),memset(dp,-2,sizeof(dp));
        memset(at,0,sizeof(at)),dp[0][0]=0;
        for(int i(1),j,k;i<=K;++i)
            read(j),read(k),M[j][k-1]&=false;
        for(x=1;x<=n;++x)dfs1(0,0);++at[0];
        for(x=0;x<n;++x){
            for(l=1;l<=at[x];++l)
                f=a[x][l],dfs2(0,0,0),
                    cout<<tot<<endl,tot&=0;
            memset(dp[x&1],-2,sizeof(dp[x&1]));
        }printf("%d\n",dp[n&1][0]);
    }
    return 0;
}
il int max(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
void dfs2(int y,int e,int t){
    if(y>=m)return (void)(dp[(x+1)&1][e]=
                          max(dp[(x+1)&1][e],dp[x&1][f]+t));
    if(f/base[y]%3==2){
        if(M[x+1][y]&&M[x+1][y+1])
            dfs2(y+2,e+base[y]+base[y+1],t);
        return;
    }
    else if(f/base[y]%3==1){
        while(f/base[y]%3==1&&y<m)
            if(M[x+1][y])++y;
            else return;
        dfs2(y,e,t);return;
    }
    else{
        if(M[x+1][y]&&M[x+1][y+1]&&y+1<m)
            if(!(f/base[y+1]%3))
                dfs2(y+2,e+base[y]*2+base[y+1]*2,t+1);
        if(M[x+1][y]&&M[x+1][y+1]&&M[x+1][y+2]&&y+2<m)
            if(!(f/base[y+1]%3)&&!(f/base[y+2]%3))
                dfs2(y+3,e+base[y]+base[y+1]+base[y+2],t+1);
    }dfs2(y+1,e,t),++tot;
}
void dfs1(int y,int e){
    if(y==m)return (void)(a[x][++at[x]]=e);
    if(M[x][y]&&M[x][y+1]&&y+1<m){
        dfs1(y+2,e+base[y]+base[y+1]),
            dfs1(y+2,e+base[y]*2+base[y+1]*2);
        if(M[x][y+2]&&y+2<m)
            dfs1(y+3,e+base[y]+base[y+1]+base[y+2]);
    }dfs1(y+1,e);
}
il void read(int &x){
    x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}