【数论】[SDOI2010]古代猪文

大概就是求这个：

$$G^\sum_{k|N} C_{n}^{k}$$

显然只要把后面的$\sum_{k|N}C_{n}^{k}$求出来就好了

几个要用的定理：

欧拉定理的推论：(a和n互质)

$$a^b \equiv a^{b \mod \varphi(n)} \mod n$$

中国剩余定理：

$$x_0=\sum \frac{M}{m_i}*t_i*a_i$$

卢卡斯定理：

$$C_{n}^{m} \equiv C_{n \mod mod}^{m \mod mod}*C_{\frac{n}{mod}}^{\frac{m}{mod}} (mod mod)$$

先用欧拉定理推论有：

$\sum_{k|N} C_{n}^{k}$可以等价为$ \sum_{k|N} C_{n}^{k} \mod \varphi(mod)$

因为999911659是质数，所以显然有$\varphi(mod)=mod-1$

所以现在我们只要求$ \sum_{k|N} C_{n}^{k} \mod (mod-1)$即可

但是$mod-1$不是质数，卢卡斯定理不适用...

莫非...我们要打一个扩展......

其实并不用！

我们把$mod-1$分解因数有$$999911659=2*3*4679*35617$$

所以就可以做了，把每一个因数都做模数跑一遍，最后用CRT把解合并起来，跑快速幂即可

做这题真的可以复习好多数论知识qwq~

 #include<bits/stdc++.h>
 #define int long long
 #define writeln(x)  write(x),puts("")
 #define writep(x)   write(x),putchar(' ')
 using namespace std;
 inline int read(){
     int ans=,f=;char chr=getchar();
     while(!isdigit(chr)){if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
     while(isdigit(chr)){ans=(ans<<)+(ans<<)+chr-;chr=getchar();}
     return ans*f;
 }void write(int x){
     if(x<) putchar('-'),x=-x;
     if(x>) write(x/);
     putchar(x%+'');
 }const int P = ,M = 1e6+;
 int fac[M],n,m,b[]={,,,,},a[M];
 int ksm(int x,int p,int mod){
     if(p==)return 1ll;
     if(p==)return x%mod;
     int t=ksm(x,p>>,mod);
     if(p&)return t*t%mod*x%mod;
     return t*t%mod;
 }
 inline void Pre(int mod){fac[]=;for(int i=;i<=mod;i++) fac[i]=fac[i-]*i%mod;}
 inline int inv(int x,int mod){return ksm(x,mod-,mod);}
 int C(int x,int y,int mod){//Lucas
     if(x<y) return ;
     if(x<mod&&y<mod) return fac[x]*inv(fac[y],mod)%mod*inv(fac[x-y],mod)%mod;
     return C(x/mod,y/mod,mod)*C(x%mod,y%mod,mod)%mod;
 }void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
     if(b==) return x=,y=,void();
     exgcd(b,a%b,x,y);
     int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
 }inline int CRT(){
     int M=P-,ans=;
     for(int i=;i<=;i++){
         int m=M/b[i],t,p;
         exgcd(m,b[i],t,p);
         t=((t%b[i])+b[i])%b[i];
         ans=(ans+t*a[i]*m)%M;
     }return ans;
 }inline void Solve(){
     for(int k=;k<=;k++){
         int mod=b[k];Pre(mod);
         for(int i=;i*i<=n;i++)
             if(n%i==){
                 a[k]=(a[k]+C(n,i,mod))%mod;
                 if(i*i!=n)a[k]=(a[k]+C(n,n/i,mod))%mod;
             }
     }cout<<ksm(m,CRT(),P);
 }signed main(){
     n=read(),m=read();
     if(m%P==) return puts(""),;
     Solve();
     return ;
 }