HAOI2006 （洛谷P2341)受欢迎的牛 题解

HAOI2006 （洛谷P2341)受欢迎的牛 题解

题目描述

友情链接原题

每头奶牛都梦想成为牛棚里的明星。被所有奶牛喜欢的奶牛就是一头明星奶牛。所有奶

牛都是自恋狂，每头奶牛总是喜欢自己的。奶牛之间的“喜欢”是可以传递的——如果A喜

欢B，B喜欢C，那么A也喜欢C。牛栏里共有N 头奶牛，给定一些奶牛之间的爱慕关系，请你

算出有多少头奶牛可以当明星。

输入输出格式

输入格式：

第一行：两个用空格分开的整数：N和M

第二行到第M + 1行：每行两个用空格分开的整数：A和B，表示A喜欢B

输出格式：

第一行：单独一个整数，表示明星奶牛的数量

输入输出样例

输入样例#1：

3 3
1 2
2 1
2 3

输出样例#1：

1

说明

只有 3 号奶牛可以做明星

【数据范围】

10%的数据N<=20, M<=50

30%的数据N<=1000,M<=20000

70%的数据N<=5000,M<=50000

100%的数据N<=10000,M<=50000

题目分析

这是一道强连通分量的题

首先把样例拿来画一下（解决图论题目常规操作），得到如下的图：

我们可以发现一号和二号可以构成一个强连通分量，然后就会想到tarjan缩点。。把一号和二号缩点后，可以得到如下的图：

我们推论：缩点后出度为零的点为明星牛（假如出度为零的点是一个强连通分量的缩点，那么这个强连通分量中的所有牛都是明星牛）这个其实很好证，假如明星牛的出度不为0，它就会和其他点构成一个强连通分量，那么就是缩点不彻底，而我们讨论的是完全缩点后的情况。

我们在举一个例子

缩点后的图是这样的

这两个点都是出度为0，但是我们发现并没有明星牛。原因是有两个点出度为零。所以推论应该改为：缩点后唯一的出度为0的点是明星牛，这样也可以避免掉单独的点带来的影响。

假如这整个图就是一个强连通图，那么每一头牛都是明星牛（缩点后只有一个点，仍然满足推论）。

然后这个题就简单了，算是裸的tarjan。

附上标程

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000000
using namespace std;
int Next[maxn],a=0,F[maxn],Head[maxn];
int cmpi[maxn],out[maxn],E[maxn],cmp[maxn],s[maxn];
int dfn[maxn],low[maxn],top=0,cmpid=0,tim=0;
bool V[maxn],D[maxn];
void ins(int x,int y,int i)
{
    E[i]=y;
    Next[i]=Head[x];
    Head[x]=i;
}//链式前向星
int find()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=a;i++)
    {
        for(int p=Head[F[i]];p;p=Next[p])//列举这个点的所有邻接点
        {
            if(!D[E[p]])ans++;//如果这个点的邻接点不和他在一个强联通分量的话，那么我们就发现他所在的分量有了出度
        }
    }
    return ans;
}//找一组强连通分量的出度
void tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++tim;
    s[++top]=u;
    V[u]=true;
    for(int p=Head[u];p;p=Next[p])
    {
        int y=E[p];
        if(!dfn[y])
        {
            tarjan(y);
            low[u]=min(low[y],low[u]);
        }
        else
        {
            if(V[y])low[u]=min(low[u],dfn[y]);
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        int y;
        cmpid++;
        do
        {
            y=s[top--];
            V[y]=false;
            F[++a]=y;//将这个点存入暂时数组
            D[y]=true;
            cmpi[cmpid]++;
        }while(y!=u);
        cmp[cmpid]=find();//cmp存储他的出度
        a=0;
        memset(D,false,sizeof(D));//D数组表示这个点在不在这个强连通分量
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        ins(a,b,i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
       if(!dfn[i])tarjan(i);
    int c=0,ans;
    for(int i=1;i<=cmpid;i++)
      if(!cmp[i])c++,ans=i;//检查图是否连通
    if(c==1)printf("%d",cmpi[ans]);//输出
    else printf("0");
    return 0;
}