NC15077 造一造

题目链接

题目

题目描述

WYF正试图用一个栈来构造一棵树，现在他已经构造了n个元素作为树的节点，只要将这n个元素依次入栈出栈就可以形成一棵树了。当然，这个问题与树并没有关系，所以它叫做WYF的栈。每次你可以入栈一个新元素或者当栈非空时出栈一个元素，n个元素必须依次入栈，而WYF希望其中第m个元素入栈之后，栈中恰好有k个元素，现在他想知道一共有多少种入栈出栈顺序满足这个条件。

输入描述

第一行一个正整数T，表示数据组数。(1<=T<=10000)

对于每组数据包含一行三个正整数n,m,k。

输出描述

对于每组数据输出一个正整数表示答案。

由于答案可能过大，所以只需要输出对10^9+7取模后的答案

示例1

输入

2
3 3 3
3 3 2

输出

1
2

示例2

输入

5
10 3 2
10 2 2
10 7 5
10 6 2
10 7 6

输出

6864
11934
2200
3780
924

示例3

输入

2
5 4 4
5 2 1

输出

5
14

备注

1<=n,m,k<=10^6

题解

知识点：卡特兰数。

设 \((x,y)(x \geq y)\) 表示入栈 \(x\) 次，出栈 \(y\) 次。

这里需要求两次卡特兰数：

1. 从 \((0,0)\) 到 \((m-1,m-k)\) ，因为要保证第 \(m\) 次入栈立刻就能得到 \(k\) 个元素。
2. 从 \((m,m-k)\) 到 \((n,n)\) ，但这里要反过来求，因为 \((m,m-k)\) 不是标准的起点但 \((n,n)\) 可以是，此时需要把横纵坐标交换看，就等效于 \((1,1)\) 到 \((n-m+k,n-m)\) 。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int P = 1e9 + 7;
namespace Number_Theory {
    const int N = 1e7 + 7;
    int qpow(int a, ll k) {
        int ans = 1;
        while (k) {
            if (k & 1) ans = 1LL * ans * a % P;
            k >>= 1;
            a = 1LL * a * a % P;
        }
        return ans;
    }
    int fact[N], invfact[N];
    void init(int n) {
        fact[0] = 1;
        for (int i = 1;i <= n;i++) fact[i] = 1LL * i * fact[i - 1] % P;
        invfact[n] = qpow(fact[n], P - 2);
        for (int i = n;i >= 1;i--) invfact[i - 1] = 1LL * invfact[i] * i % P;
    }
}
namespace CNM {
    using namespace Number_Theory;
    int C(int n, int m) {
        if (n == m && m == -1) return 1; //* 隔板法特判
        if (n < m || m < 0) return 0;
        return 1LL * fact[n] * invfact[n - m] % P * invfact[m] % P;
    }
}
namespace Catalan {
    int F(int n, int m) {
        if (n < m || m < 0) return 0;
        return (CNM::C(n + m, m) - CNM::C(n + m, m - 1) + P) % P;
    }
    int H(int n) { return F(n, n); }
}

bool solve() {
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    cout << 1LL * Catalan::F(m - 1, m - k) * Catalan::F(n - m + k, n - m) % P << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    CNM::init(2e6);
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}